Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | expgrowth.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) |
2 | | cnelprrecn 9908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
4 | | expgrowth.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
5 | | recnprss 23474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}
→ 𝑆 ⊆
ℂ) |
6 | 1, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ) |
7 | 6 | sseld 3567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ)) |
8 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
9 | 4, 7, 8 | syl6an 566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)) |
10 | 9 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
11 | 10 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ) |
12 | 4 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ) |
13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ) |
14 | | efcl 14652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ ℂ →
(exp‘𝑦) ∈
ℂ) |
15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈
ℂ) |
16 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ) |
17 | 7 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ) |
18 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℂ |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ) |
20 | 1 | dvmptid 23526 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1)) |
21 | 1, 17, 19, 20, 4 | dvmptcmul 23533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1))) |
22 | 4 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾) |
23 | 22 | mpteq2dv 4673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)) |
24 | 21, 23 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)) |
25 | 1, 10, 16, 24 | dvmptneg 23535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)) |
26 | | dvef 23547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ℂ
D exp) = exp |
27 | | eff 14651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
exp:ℂ⟶ℂ |
28 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ) |
29 | 27, 28 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ exp Fn
ℂ |
30 | | dffn5 6151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (exp Fn
ℂ ↔ exp = (𝑦
∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) |
31 | 29, 30 | mpbi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ exp =
(𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦)) |
32 | 31 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ℂ
D exp) = (ℂ D (𝑦
∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) |
33 | 26, 32, 31 | 3eqtr3i 2640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℂ
D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦)) |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑦))) |
35 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) |
36 | 1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35 | dvmptco 23541 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
37 | 36 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) |
38 | | expgrowth.y |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ) |
39 | | efcl 14652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
40 | 11, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
41 | 40, 13 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ) |
42 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) |
43 | 41, 42 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ) |
44 | 36 | feq1d 5943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)) |
45 | 43, 44 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
46 | | mulcom 9901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
47 | 46 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) |
48 | 1, 38, 45, 47 | caofcom 6827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
49 | 37, 48 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
50 | 49 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
51 | | fconst6g 6007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
52 | 12, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
53 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) |
54 | 40, 53 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ) |
55 | 1, 52, 54, 47 | caofcom 6827 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 ·
(𝑆 × {-𝐾}))) |
56 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) |
57 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾) |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)) |
59 | 1, 40, 13, 56, 58 | offval2 6812 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 ·
(𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
60 | 55, 59 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
61 | 60 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) |
62 | 61 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))) |
63 | | expgrowth.dy |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆) |
64 | 36 | dmeqd 5248 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) |
65 | 42, 41 | dmmptd 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆) |
66 | 64, 65 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆) |
67 | 1, 38, 54, 63, 66 | dvmulf 23512 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
68 | 50, 62, 67 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
69 | | ofmul12 37546 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
70 | 1, 38, 52, 54, 69 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 ·
((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
71 | 70 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌 ∘𝑓
· ((𝑆 ×
{-𝐾})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
72 | 68, 71 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
73 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
74 | 73 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
75 | 72, 74 | sylan9eq 2664 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
76 | | mulass 9903 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
77 | 76 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) |
78 | 1, 52, 38, 54, 77 | caofass 6829 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
79 | 78 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
80 | 79 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))) |
81 | 80 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))) |
82 | 75, 81 | mpbird 246 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
83 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
84 | 83 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
85 | | fconst6g 6007 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
86 | 4, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ) |
87 | | inidm 3784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆 |
88 | 84, 86, 38, 1, 1, 87 | off 6810 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) |
89 | 84, 52, 38, 1, 1, 87 | off 6810 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) |
90 | | adddir 9910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) |
91 | 90 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) |
92 | 1, 54, 88, 89, 91 | caofdir 6832 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
93 | 92 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
94 | 93 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))) |
95 | 82, 94 | mpbird 246 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
96 | | ofnegsub 10895 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
97 | 1, 88, 88, 96 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
98 | | neg1cn 11001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ -1 ∈
ℂ |
99 | 98 | fconst6 6008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ |
100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ) |
101 | 1, 100, 86, 38, 77 | caofass 6829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓
· 𝑌) = ((𝑆 × {-1})
∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
102 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
103 | 1, 102, 4 | ofc12 6820 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)})) |
104 | 4 | mulm1d 10361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾) |
105 | 104 | sneqd 4137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾}) |
106 | 105 | xpeq2d 5063 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾})) |
107 | 103, 106 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾})) |
108 | 107 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓
· 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
109 | 101, 108 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
110 | 109 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓
· ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
111 | | ofsubid 37545 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓
· 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
112 | 1, 88, 111 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
113 | 97, 110, 112 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) = (𝑆 × {0})) |
114 | 113 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
115 | 114 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
116 | 115 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)
∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
117 | 95, 116 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
118 | | 0cnd 9912 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℂ) |
119 | | mul02 10093 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0
· 𝑥) =
0) |
120 | 119 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0) |
121 | 1, 54, 118, 118, 120 | caofid2 6826 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0})) |
122 | 121 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 × {0})
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0})) |
123 | 117, 122 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0})) |
124 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ,
ℂ}) |
125 | 84, 38, 54, 1, 1, 87 | off 6810 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
126 | 125 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ) |
127 | 123 | dmeqd 5248 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0})) |
128 | | 0cn 9911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℂ |
129 | 128 | fconst6 6008 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ |
130 | 129 | fdmi 5965 |
. . . . . . . 8
⊢ dom
(𝑆 × {0}) = 𝑆 |
131 | 127, 130 | syl6eq 2660 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆) |
132 | 124, 126,
131 | dvconstbi 37555 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))) |
133 | 123, 132 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})) |
134 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) |
135 | | efne0 14666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0) |
136 | | eldifsn 4260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((exp‘-(𝐾
· 𝑢)) ∈
(ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
137 | 39, 135, 136 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
138 | 11, 137 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
139 | 138, 53 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖
{0})) |
140 | | ofdivcan4 37548 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧
𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) →
((𝑌
∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌) |
141 | 1, 38, 139, 140 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌) |
142 | 141 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
143 | 134, 142 | syl5ib 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
144 | 143 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) |
145 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑥 ∈ V |
146 | 145 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V) |
147 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 /
(exp‘(𝐾 ·
𝑢))) ∈
V |
148 | 147 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V) |
149 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) |
150 | 149 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) |
151 | | efneg 14667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
152 | 10, 151 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
153 | 152 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
154 | 1, 146, 148, 150, 153 | offval2 6812 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
155 | 154 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
156 | | efcl 14652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
157 | | efne0 14666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0) |
158 | 156, 157 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
159 | 10, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) |
160 | | ax-1ne0 9884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 ≠
0 |
161 | 18, 160 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 ∈
ℂ ∧ 1 ≠ 0) |
162 | | divdiv2 10616 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈
ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
163 | 161, 162 | mp3an2 1404 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧
((exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ∈ ℂ ∧
(exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
164 | 159, 163 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1)) |
165 | 10, 156 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
166 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧
(exp‘(𝐾 ·
𝑢)) ∈ ℂ) →
(𝑥 ·
(exp‘(𝐾 ·
𝑢))) ∈
ℂ) |
167 | 165, 166 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ) |
168 | 167 | div1d 10672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
169 | 164, 168 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
170 | 169 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
171 | 170 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
172 | 171 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
173 | 155, 172 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
174 | 173 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
175 | 144, 174 | sylibd 228 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
176 | 175 | reximdva 3000 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓 · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
177 | 176 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘𝑓
· (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
178 | 133, 177 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) |
179 | 178 | ex 449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
180 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) |
181 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ) |
182 | | simprl 790 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
183 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) |
184 | 180, 181,
182, 183 | expgrowthi 37554 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
185 | 184 | 3impb 1252 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
186 | | oveq2 6557 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
187 | | oveq2 6557 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
188 | 186, 187 | eqeq12d 2625 |
. . . . . 6
⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))) |
189 | 188 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
(𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))) |
190 | 185, 189 | mpbird 246 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌)) |
191 | 190 | rexlimdv3a 3015 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌))) |
192 | 179, 191 | impbid 201 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) |
193 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡)) |
194 | 193 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡))) |
195 | 194 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
196 | 195 | cbvmptv 4678 |
. . . . 5
⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
197 | | oveq1 6556 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) |
198 | 197 | mpteq2dv 4673 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
199 | 196, 198 | syl5eq 2656 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
200 | 199 | eqeq2d 2620 |
. . 3
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))) |
201 | 200 | cbvrexv 3148 |
. 2
⊢
(∃𝑥 ∈
ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))) |
202 | 192, 201 | syl6bb 275 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 ·
𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))) |