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Theorem expgrowth 37556
 Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 37554 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives. Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ. Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘𝑓 · is multiplication as a function operation. The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case. Statements for this and expgrowthi 37554 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
expgrowth (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5 recnprss 23474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
76sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℂ))
8 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
94, 7, 8syl6an 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
1110negcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
124negcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14 efcl 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
177imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 1 ∈ ℂ)
201dvmptid 23526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆𝑢)) = (𝑢𝑆 ↦ 1))
211, 17, 19, 20, 4dvmptcmul 23533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
224mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
2322mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢𝑆𝐾))
2421, 23eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆𝐾))
251, 10, 16, 24dvmptneg 23535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
26 dvef 23547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = exp
27 eff 14651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 exp:ℂ⟶ℂ
28 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 exp Fn ℂ
30 dffn5 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3129, 30mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3231oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3326, 32, 313eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
361, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35dvmptco 23541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
3736oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
39 efcl 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4140, 13mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
4341, 42fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
4436feq1d 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
4543, 44mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
46 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
481, 38, 45, 47caofcom 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌))
4937, 48eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌)))
51 fconst6g 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
5212, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
53 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
5440, 53fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
551, 52, 54, 47caofcom 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 · (𝑆 × {-𝐾})))
56 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
57 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
591, 40, 13, 56, 58offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
6055, 59eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
63 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
6436dmeqd 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
6542, 41dmmptd 5937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
6664, 65eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
671, 38, 54, 63, 66dvmulf 23512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌)))
6850, 62, 673eqtr4rd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
69 ofmul12 37546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
701, 38, 52, 54, 69syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7170oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7268, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
73 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
7473oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7572, 74sylan9eq 2664 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
76 mulass 9903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
781, 52, 38, 54, 77caofass 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7978oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
8079eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8275, 81mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
83 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
85 fconst6g 6007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
864, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
87 inidm 3784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑆) = 𝑆
8884, 86, 38, 1, 1, 87off 6810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
8984, 52, 38, 1, 1, 87off 6810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
90 adddir 9910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
921, 54, 88, 89, 91caofdir 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
9392eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9493adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9582, 94mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
96 ofnegsub 10895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
971, 88, 88, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
98 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
9998fconst6 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
1011, 100, 86, 38, 77caofass 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
10298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
1031, 102, 4ofc12 6820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
1044mulm1d 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
105104sneqd 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
106105xpeq2d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
107103, 106eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
108107oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
109101, 108eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
110109oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
111 ofsubid 37545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
1121, 88, 111syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
11397, 110, 1123eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
114113oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
115114eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
116115adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
11795, 116mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
118 0cnd 9912 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
119 mul02 10093 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
120119adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
1211, 54, 118, 118, 120caofid2 6826 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122121adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
123117, 122eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
1241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
12584, 38, 54, 1, 1, 87off 6810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126125adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
127123dmeqd 5248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
128 0cn 9911 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
129128fconst6 6008 . . . . . . . . 9 (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
130129fdmi 5965 . . . . . . . 8 dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
131127, 130syl6eq 2660 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
132124, 126, 131dvconstbi 37555 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
133123, 132mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
134 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
135 efne0 14666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
136 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
13739, 135, 136sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13811, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
139138, 53fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
140 ofdivcan4 37548 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
1411, 38, 139, 140syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
142141eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143134, 142syl5ib 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144143adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
145 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑥 ∈ V)
147 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
149 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥)
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥))
151 efneg 14667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
15210, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
153152mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
1541, 146, 148, 150, 153offval2 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
155154adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
156 efcl 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
157 efne0 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
158156, 157jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
15910, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
160 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 0
16118, 160pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
162 divdiv2 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163161, 162mp3an2 1404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
164159, 163sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
16510, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
166 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
167165, 166sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
168167div1d 10672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169164, 168eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170169ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
171170an32s 842 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
172171mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
173155, 172eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
174173eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175144, 174sylibd 228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176175reximdva 3000 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
177176adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178133, 177mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
179178ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1801adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1814adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
182 simprl 790 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
183 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
184180, 181, 182, 183expgrowthi 37554 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1851843impb 1252 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
187 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
188186, 187eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
1891883ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
190185, 189mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
191190rexlimdv3a 3015 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
192179, 191impbid 201 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
193 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
194193fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
195194oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196195cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
197 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
198197mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑥 = 𝑐 → (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
199196, 198syl5eq 2656 . . . 4 (𝑥 = 𝑐 → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200199eqeq2d 2620 . . 3 (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
201200cbvrexv 3148 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
202192, 201syl6bb 275 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  expce 14631   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by: (None)
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