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Theorem expgrowth 27420
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 27418 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as  ( S  _D  Y
), C as  c, and ky as  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ).  ( S  X.  { K } ) is the constant function that maps any real or complex input to k and  o F  x. is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case.

Statements for this and expgrowthi 27418 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
expgrowth.k  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
expgrowth.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
expgrowth.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
expgrowth  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c, K    S, c, t    Y, c
Allowed substitution hints:    ph( t, c)    Y( t)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
32prid2 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
5 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
6 recnprss 19744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
87sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  CC ) )
9 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC )
105, 8, 9ee12an 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC ) )
1110imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( K  x.  u )  e.  CC )
1211negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u ( K  x.  u )  e.  CC )
135negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u K  e.  CC )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u K  e.  CC )
15 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
175adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  K  e.  CC )
188imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  CC )
19 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  1  e.  CC )
211dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  u ) )  =  ( u  e.  S  |->  1 ) )
221, 18, 20, 21, 5dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) ) )
235mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
2423mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
2522, 24eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
261, 11, 17, 25dvmptneg 19805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  -u ( K  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
27 dvef 19817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
28 eff 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  exp : CC
--> CC
29 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  exp  Fn  CC
31 dffn5 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( exp 
Fn  CC  <->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3230, 31mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3332oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3427, 33, 323eqtr3i 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  -u ( K  x.  u )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
371, 4, 12, 14, 16, 16, 26, 35, 36, 36dvmptco 19811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
3837oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
39 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
40 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  CC )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC )
4241, 14mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
)  e.  CC )
43 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )
4442, 43fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC )
4537feq1d 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC  <->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC ) )
4644, 45mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
47 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
491, 39, 46, 48caofcom 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5038, 49eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5150oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
52 fconst6g 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u K  e.  CC  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
5313, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
5541, 54fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC )
561, 53, 55, 48caofcom 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) ) )
57 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )
58 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |->  -u K )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
601, 41, 14, 57, 59offval2 6281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6156, 60eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6261oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
6362oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) ) )
64 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
6537dmeqd 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )
66 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  S )
6744, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) )  =  S )
6865, 67eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  S )
691, 39, 55, 64, 68dvmulf 19782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
7051, 63, 693eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
71 ofmul12 27410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC )  /\  ( ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC  /\  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC ) )  ->  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
721, 39, 53, 55, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
7372oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
75 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
7675oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
7774, 76sylan9eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
78 mulass 9034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
801, 53, 39, 55, 79caofass 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
8180oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  <-> 
( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8477, 83mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
85 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
8685adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
87 fconst6g 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  ( S  X.  { K }
) : S --> CC )
885, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { K } ) : S --> CC )
89 inidm 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  S )  =  S
9086, 88, 39, 1, 1, 89off 6279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )
9186, 53, 39, 1, 1, 89off 6279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y
) : S --> CC )
92 adddir 9039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
941, 55, 90, 91, 93caofdir 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9695adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9784, 96mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
98 ofnegsub 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
991, 90, 90, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
100 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 1  e.  CC
101100fconst6 5592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC )
1031, 102, 88, 39, 79caofass 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u
1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
104100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
1051, 104, 5ofc12 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { (
-u 1  x.  K
) } ) )
1065mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  K )  =  -u K )
107106sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { ( -u 1  x.  K ) }  =  { -u K } )
108107xpeq2d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
( -u 1  x.  K
) } )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
109105, 108eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
110109oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
111103, 110eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
112111oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) ) )
113 ofsubid 27409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
1141, 90, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
11599, 112, 1143eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
116115oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
117116eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
118117adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
11997, 118mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
120 0cn 9040 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
122 mul02 9200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
123122adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
1241, 55, 121, 121, 123caofid2 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
125124adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
126119, 125eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1271adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
12886, 39, 55, 1, 1, 89off 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
129128adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) : S --> CC )
130126dmeqd 5031 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  dom  ( S  X.  { 0 } ) )
131120fconst6 5592 . . . . . . . . 9  |-  ( S  X.  { 0 } ) : S --> CC
132131fdmi 5555 . . . . . . . 8  |-  dom  ( S  X.  { 0 } )  =  S
133130, 132syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  S )
134127, 129, 133dvconstbi 27419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
) ) )
135126, 134mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } ) )
136 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
137 efne0 12653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  =/=  0 )
138 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC  /\  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
13940, 137, 138sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
14012, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
141140, 54fmptd 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )
142 ofdivcan4 27412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC  /\  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
1431, 39, 141, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
144143eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
145136, 144syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
147 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  x  e.  _V )
149 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  e.  _V
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  e. 
_V )
151 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  X.  { x }
)  =  ( u  e.  S  |->  x )
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
x } )  =  ( u  e.  S  |->  x ) )
153 efneg 12654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
15411, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
155154mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )
1561, 148, 150, 152, 155offval2 6281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
157156adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
158 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
159 efne0 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 )
160158, 159jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
16111, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
162 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  0
16319, 162pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
164 divdiv2 9682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u
) )  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u )
)  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
165163, 164mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )  ->  ( x  / 
( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  / 
1 ) )
166161, 165sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
16711, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
168 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
169167, 168sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
170169div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
)  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
171166, 170eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
172171ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
173172an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  S )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
174173mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  e.  S  |->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
175157, 174eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )
176175eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
177146, 176sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
178177reximdva 2778 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
179178adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
180135, 179mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
181180ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1821adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1835adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  CC )
184 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
185 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
186182, 183, 184, 185expgrowthi 27418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  -> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1871863impb 1149 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
188 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
189 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
190188, 189eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
1911903ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <-> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
192187, 191mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
193192rexlimdv3a 2792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
194181, 193impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
195 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  ( K  x.  u )  =  ( K  x.  t ) )
196195fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( u  =  t  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =  ( exp `  ( K  x.  t )
) )
197196oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
198197cbvmptv 4260 . . . . 5  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
199 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( x  =  c  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) )  =  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
200199mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( x  =  c  ->  (
t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
201198, 200syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( x  =  c  ->  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
202201eqeq2d 2415 . . 3  |-  ( x  =  c  ->  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) ) ) )
203202cbvrexv 2893 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) )
204194, 203syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   expce 12619    _D cdv 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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