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Theorem expgrowth 26718
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 26716 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as  ( S  _D  Y
), C as  c, and ky as  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ).  ( S  X.  { K } ) is the constant function that maps any real or complex input to k and  o F  x. is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case.

Statements for this and expgrowthi 26716 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
expgrowth.k  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
expgrowth.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
expgrowth.dy  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
expgrowth  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c, K    S, c, t    Y, c
Allowed substitution hints:    ph( t, c)    Y( t)

Proof of Theorem expgrowth
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 cnex 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
32prid2 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
5 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
6 recnprss 19086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
87sseld 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  CC ) )
9 mulcl 8701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC )
105, 8, 9ee12an 1359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC ) )
1110imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( K  x.  u )  e.  CC )
1211negcld 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u ( K  x.  u )  e.  CC )
135negcld 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u K  e.  CC )
1413adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u K  e.  CC )
15 efcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
1615adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
175adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  K  e.  CC )
188imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  CC )
19 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
2019a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  1  e.  CC )
211dvmptid 19138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  u ) )  =  ( u  e.  S  |->  1 ) )
221, 18, 20, 21, 5dvmptcmul 19145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) ) )
235mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
2423mpteq2dv 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
2522, 24eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
261, 11, 17, 25dvmptneg 19147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  -u ( K  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
27 dvef 19159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
28 eff 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  exp : CC
--> CC
29 ffn 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
3028, 29ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  exp  Fn  CC
31 dffn5 5420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( exp 
Fn  CC  <->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3230, 31mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3332oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3427, 33, 323eqtr3i 2281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3534a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
36 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  -u ( K  x.  u )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
371, 4, 12, 14, 16, 16, 26, 35, 36, 36dvmptco 19153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
3837oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
39 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
40 efcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  CC )
4112, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC )
4241, 14mulcld 8735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
)  e.  CC )
43 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )
4442, 43fmptd 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC )
4537feq1d 5236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC  <->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC ) )
4644, 45mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
47 mulcom 8703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
491, 39, 46, 48caofcom 5961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5038, 49eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5150oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
52 fconst6g 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u K  e.  CC  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
5313, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
54 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
5541, 54fmptd 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC )
561, 53, 55, 48caofcom 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) ) )
57 eqidd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )
58 fconstmpt 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |->  -u K )
5958a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
601, 41, 14, 57, 59offval2 5947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6156, 60eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6261oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
6362oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) ) )
64 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  Y )  =  S )
6537dmeqd 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  dom  (  u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )
66 fdm 5250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC  ->  dom  (  u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  S )
6744, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  (  u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) )  =  S )
6865, 67eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  S )
691, 39, 55, 64, 68dvmulf 19124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
7051, 63, 693eqtr4rd 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
71 ofmul12 26708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC )  /\  ( ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC  /\  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC ) )  ->  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
721, 39, 53, 55, 71syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
7372oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
75 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
7675oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
7774, 76sylan9eq 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
78 mulass 8705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
801, 53, 39, 55, 79caofass 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
8180oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8382adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  <-> 
( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8477, 83mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
85 mulcl 8701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
8685adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
87 fconst6g 5287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  ( S  X.  { K }
) : S --> CC )
885, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { K } ) : S --> CC )
89 inidm 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  S )  =  S
9086, 88, 39, 1, 1, 89off 5945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )
9186, 53, 39, 1, 1, 89off 5945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y
) : S --> CC )
92 adddir 8710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
9392adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
941, 55, 90, 91, 93caofdir 5966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9695adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9784, 96mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
98 ofnegsub 9624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
991, 90, 90, 98syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
100 neg1cn 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 1  e.  CC
101100fconst6 5288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC
102101a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC )
1031, 102, 88, 39, 79caofass 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u
1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
104100a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
1051, 104, 5ofc12 5954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { (
-u 1  x.  K
) } ) )
1065mulm1d 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  K )  =  -u K )
107106sneqd 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { ( -u 1  x.  K ) }  =  { -u K } )
108107xpeq2d 4620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
( -u 1  x.  K
) } )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
109105, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
110109oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
111103, 110eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
112111oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) ) )
113 ofsubid 26707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
1141, 90, 113syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
11599, 112, 1143eqtr3d 2293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
116115oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
117116eqeq2d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
118117adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
11997, 118mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
120 0cn 8711 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
121120a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
122 mul02 8870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
123122adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
1241, 55, 121, 121, 123caofid2 5960 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
125124adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
126119, 125eqtrd 2285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1271adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
12886, 39, 55, 1, 1, 89off 5945 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
129128adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) : S --> CC )
130126dmeqd 4788 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  (  S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  dom  (  S  X.  { 0 } ) )
131120fconst6 5288 . . . . . . . . 9  |-  ( S  X.  { 0 } ) : S --> CC
132131fdmi 5251 . . . . . . . 8  |-  dom  (  S  X.  { 0 } )  =  S
133130, 132syl6eq 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  (  S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  S )
134127, 129, 133dvconstbi 26717 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
) ) )
135126, 134mpbid 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } ) )
136 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
137 efne0 12251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  =/=  0 )
138 eldifsn 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC  /\  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
13940, 137, 138sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
14012, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
141140, 54fmptd 5536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )
142 ofdivcan4 26710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC  /\  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
1431, 39, 141, 142syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
144143eqeq1d 2261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
145136, 144syl5ib 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
146145adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
147 vex 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
148147a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  x  e.  _V )
149 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  e.  _V
150149a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  e. 
_V )
151 fconstmpt 4639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  X.  { x }
)  =  ( u  e.  S  |->  x )
152151a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
x } )  =  ( u  e.  S  |->  x ) )
153 efneg 12252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
15411, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
155154mpteq2dva 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )
1561, 148, 150, 152, 155offval2 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
157156adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
158 efcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
159 efne0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 )
160158, 159jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
16111, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
162 ax-1ne0 8686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  0
16319, 162pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
164 divdiv2 9352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u
) )  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u )
)  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
165163, 164mp3an2 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )  ->  ( x  / 
( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  / 
1 ) )
166161, 165sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
16711, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
168 mulcl 8701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
169167, 168sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
170169div1d 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
)  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
171166, 170eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
172171ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
173172an32s 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  S )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
174173mpteq2dva 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  e.  S  |->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
175157, 174eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )
176175eqeq2d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
177146, 176sylibd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
178177reximdva 2617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
179178adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
180135, 179mpd 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
181180ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1821adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1835adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  CC )
184 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
185 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
186182, 183, 184, 185expgrowthi 26716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  -> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1871863impb 1152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
188 oveq2 5718 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
189 oveq2 5718 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
190188, 189eqeq12d 2267 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
1911903ad2ant3 983 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <-> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
192187, 191mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
193192rexlimdv3a 2631 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
194181, 193impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
195 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  ( K  x.  u )  =  ( K  x.  t ) )
196195fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( u  =  t  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =  ( exp `  ( K  x.  t )
) )
197196oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
198197cbvmptv 4008 . . . . 5  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
199 oveq1 5717 . . . . . 6  |-  ( x  =  c  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) )  =  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
200199mpteq2dv 4004 . . . . 5  |-  ( x  =  c  ->  (
t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
201198, 200syl5eq 2297 . . . 4  |-  ( x  =  c  ->  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
202201eqeq2d 2264 . . 3  |-  ( x  =  c  ->  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) ) ) )
203202cbvrexv 2709 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) )
204194, 203syl6bb 254 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    \ cdif 3075    C_ wss 3078   {csn 3544   {cpr 3545    e. cmpt 3974    X. cxp 4578   dom cdm 4580    Fn wfn 4587   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    o Fcof 5928   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   -ucneg 8918    / cdiv 9303   expce 12217    _D cdv 19045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049
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