Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 786 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
2 | | simplr 788 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
3 | | ffn 5958 |
. . 3
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐹 Fn 𝐴) |
5 | | simprl 790 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ) |
6 | | ffn 5958 |
. . . 4
⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴) |
7 | 5, 6 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐺 Fn 𝐴) |
8 | | simprr 792 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻:𝐴⟶ℂ) |
9 | | ffn 5958 |
. . . 4
⊢ (𝐻:𝐴⟶ℂ → 𝐻 Fn 𝐴) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → 𝐻 Fn 𝐴) |
11 | | inidm 3784 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴 |
12 | 7, 10, 1, 1, 11 | offn 6806 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐴) |
13 | 4, 10, 1, 1, 11 | offn 6806 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐴) |
14 | 7, 13, 1, 1, 11 | offn 6806 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 ∘𝑓
· 𝐻)) Fn 𝐴) |
15 | | eqidd 2611 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) |
16 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) |
17 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)) |
18 | 7, 10, 1, 1, 11, 16, 17 | ofval 6804 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) |
19 | 2 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
20 | 5 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) |
21 | 8 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ ℂ) |
22 | 19, 20, 21 | mul12d 10124 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))) |
23 | 4, 10, 1, 1, 11, 15, 17 | ofval 6804 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) |
24 | 7, 13, 1, 1, 11, 16, 23 | ofval 6804 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 ∘𝑓
· 𝐻))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))) |
25 | 22, 24 | eqtr4d 2647 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥))) = ((𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 ∘𝑓
· 𝐻))‘𝑥)) |
26 | 1, 4, 12, 14, 15, 18, 25 | offveq 6816 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐻:𝐴⟶ℂ)) → (𝐹 ∘𝑓 · (𝐺 ∘𝑓
· 𝐻)) = (𝐺 ∘𝑓
· (𝐹
∘𝑓 · 𝐻))) |