Theorem dmmptd 5937

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		elex 3185	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
4	3	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
5		rabid2 3096	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
7		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	dmmpt 5547	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
9	6, 8	syl6reqr 2663	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8459  lo1eq  14147  rlimeq  14148  rlimcld2  14157  rlimcn2  14169  rlimmptrcl  14186  rlimsqzlem  14227  dprdz  18252  alexsublem  21658  cmetcaulem  22894  minveclem3b  23007  mbfneg  23223  mbfsup  23237  mbfinf  23238  mbflimsup  23239  itg2monolem1  23323  itg2mono  23326  itg2i1fseq2  23329  itg2cnlem1  23334  isibl2  23339  iblcnlem  23361  limccnp2  23462  limcco  23463  dvmptres3  23525  itgsubstlem  23615  iblulm  23965  rlimcnp2  24493  dchrisumlema  24977  htthlem  27158  expgrowth  37556  mptelpm  38352  choicefi  38387  mullimc  38683  limcmptdm  38702  dvsinax  38801  dirkercncflem2  38997  fourierdlem62  39061  psmeasure  39364  ovnovollem2  39547