Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcco 23463
 Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
limcco.s ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
limcco.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
limcco.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
limcco.1 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
limcco.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcco (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
21expr 641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐶𝑅𝐵))
32necon1bd 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 = 𝐶))
4 limccl 23445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) ⊆ ℂ
5 limcco.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
64, 5sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 elsn2g 4157 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
103, 9sylibrd 248 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1110orrd 392 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
12 elun 3715 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1311, 12sylibr 223 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
14 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
1513, 14fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝐶}))
16 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
17 limcco.s . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
1816, 17dmmptd 5937 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) = 𝐵)
19 limcco.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
20 limcrcl 23444 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2221simp2d 1067 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ)
2318, 22eqsstr3d 3603 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
246snssd 4281 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℂ)
2523, 24unssd 3751 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝐶}) ⊆ ℂ)
26 eqid 2610 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27 eqid 2610 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶}))
2823, 6, 17, 27, 26limcmpt 23453 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
2919, 28mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
3015, 25, 26, 27, 5, 29limccnp 23461 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) ∈ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋))
31 ssun2 3739 . . . 4 {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})
32 snssg 4268 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
335, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
3431, 33mpbiri 247 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
35 iftrue 4042 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
36 eqid 2610 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))
3735, 36fvmptg 6189 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶)) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) = 𝐷)
3834, 19, 37syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) = 𝐷)
39 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
40 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)))
41 eqeq1 2614 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶))
42 limcco.1 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
4341, 42ifbieq2d 4061 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4413, 39, 40, 43fmptco 6303 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)))
45 ifid 4075 . . . . . 6 if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = 𝑇
46 limcco.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
4746anassrs 678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑅 = 𝐶) → 𝑇 = 𝐷)
4847ifeq1da 4066 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4945, 48syl5reqr 2659 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇) = 𝑇)
5049mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)) = (𝑥𝐴𝑇))
5144, 50eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
5251oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋) = ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
5330, 38, 523eltr3d 2702 1 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567   CnP ccnp 20839   limℂ climc 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436 This theorem is referenced by:  dvcobr  23515  dvcnvlem  23543  lhop2  23582  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem62  39061  fourierdlem73  39072  fourierdlem76  39075
 Copyright terms: Public domain W3C validator