Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcobr 23515
 Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 23516. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.k (𝜑𝐾𝑉)
dvco.l (𝜑𝐿𝑉)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2610 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3578 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 5970 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 23468 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 474 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
178, 16, 7dvcl 23469 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1815, 17mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
21 eldifi 3694 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
22 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
266adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌𝑋)
275, 10, 11dvbss 23471 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
28 reldv 23440 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5279 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑌)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
3326, 32ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3625, 35subcld 10271 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3821ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝑧𝑌)
3937, 38ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4031ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐶𝑌)
4137, 40ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4239, 41subcld 10271 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
43 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
4439, 41subeq0ad 10281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4544necon3abid 2818 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4643, 45mpbird 246 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0)
4736, 42, 46divcld 10680 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
4819, 47ifclda 4070 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
4911, 5sstrd 3578 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5010, 49, 31dvlem 23466 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
51 ssid 3587 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
533cnfldtopon 22396 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
54 txtopon 21204 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5553, 53, 54mp2an 704 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5655toponunii 20547 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5756restid 15917 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
5958eqcomi 2619 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
6023anim1i 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
61 eldifsn 4260 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
6260, 61sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
6362anasss 677 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶))) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
64 eldifsni 4261 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → 𝑦 ≠ (𝐺𝐶))
65 ifnefalse 4048 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ (𝐺𝐶) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6664, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6766adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
686, 31ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
6916, 9, 68dvlem 23466 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
7067, 69eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
71 limcresi 23455 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶)
726feqmptd 6159 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
7372reseq1d 5316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})))
74 difss 3699 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
75 resmpt 5369 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧))
7773, 76syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7877oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
7971, 78syl5sseq 3616 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
80 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
8180, 3dvcnp2 23489 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
825, 10, 11, 30, 81syl31anc 1321 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
833, 80cnplimc 23457 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8449, 31, 83syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8582, 84mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
8685simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
8779, 86sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
88 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
89 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9088, 3, 89, 8, 16, 7eldv 23468 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
9115, 90mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
9291simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
9366mpteq2ia 4668 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9493oveq1i 6559 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))
9592, 94syl6eleqr 2699 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)))
96 eqeq1 2614 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 = (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
97 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
9897oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
99 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
10098, 99oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
10196, 100ifbieq2d 4061 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))))
102 iftrue 4042 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
103102ad2antll 761 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
10463, 70, 87, 95, 101, 103limcco 23463 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))) lim 𝐶))
10513simprd 478 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1063mulcn 22478 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1075, 10, 11dvcl 23469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1081, 107mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
109 opelxpi 5072 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11018, 108, 109syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11156cncnpi 20892 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
112106, 110, 111sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
11348, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112limccnp2 23462 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
114 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
115114eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
116 oveq1 6556 . . . . . . . 8 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
117116eqeq1d 2612 . . . . . . 7 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
11819mul01d 10114 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · 0) = 0)
1199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
120119, 23sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
121119, 33sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
122120, 121subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
123122biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0)
124123oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
12549adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑌 ⊆ ℂ)
12621adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
127125, 126sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
128125, 32sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
129127, 128subcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
130 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
132127, 128, 131subne0d 10280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
133129, 132div0d 10679 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
134133adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
135124, 134eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = 0)
136135oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝐾 · 0))
137 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13824, 34subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶))))
139137, 138syl5ibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0))
140139imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0)
141140oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
142141, 134eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = 0)
143118, 136, 1423eqtr4d 2654 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
144129adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
145132adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
14636, 42, 144, 46, 145dmdcan2d 10710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
147115, 117, 143, 146ifbothda 4073 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
148 fvco3 6185 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
1496, 21, 148syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
150 fvco3 6185 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
1516, 31, 150syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
152151adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
153149, 152oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
154153oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
155147, 154eqtr4d 2647 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
156155mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
157156oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
158113, 157eleqtrd 2690 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
159 eqid 2610 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
160 fco 5971 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
16116, 6, 160syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1622, 3, 159, 5, 161, 11eldv 23468 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
16314, 158, 162mpbir2and 959 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518  intcnt 20631   Cn ccn 20838   CnP ccnp 20839   ×t ctx 21173   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvco  23516  dvcof  23517  dvef  23547
 Copyright terms: Public domain W3C validator