Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvlem 23543
 Description: Lemma for dvcnvre 23586. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnv.k 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
dvcnv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcnv.y (𝜑𝑌𝐾)
dvcnv.f (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnv.i (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
dvcnv.d (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcnv.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
dvcnv.c (𝜑𝐶𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1of 6050 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
4 dvcnv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
6 dvcnv.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
7 dvcnv.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopon 22396 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 dvcnv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 recnprss 23474 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 resttopon 20775 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
138, 11, 12sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
146, 13syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 20541 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐾 ∈ Top)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 dvcnv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
18 isopn3i 20696 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌𝐾) → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
1916, 17, 18syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
205, 19eleqtrrd 2691 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌))
21 f1ocnv 6062 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
22 f1of 6050 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
231, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
24 eldifi 3694 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧𝑌)
25 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2623, 24, 25syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2726anim1i 590 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
28 eldifsn 4260 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
2927, 28sylibr 223 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3029anasss 677 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
31 eldifi 3694 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝑋)
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
33 dvbsss 23472 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
3432, 33syl6eqssr 3619 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑆)
3534, 11sstrd 3578 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3635sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
3731, 36sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3834, 4sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑆)
3911, 38sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
42 toponss 20544 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑌𝐾) → 𝑌𝑆)
4314, 17, 42syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
4443, 11sstrd 3578 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
453, 44fssd 5970 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
46 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4745, 31, 46syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4844, 5sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5047, 49subcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
51 eldifsni 4261 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝐶)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝐶)
5347, 49subeq0ad 10281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐶)))
54 f1of1 6049 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
5731adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝑋)
584adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑋)
59 f1fveq 6420 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑦𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6056, 57, 58, 59syl12anc 1316 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6153, 60bitrd 267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ 𝑦 = 𝐶))
6261necon3bid 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0 ↔ 𝑦𝐶))
6352, 62mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0)
6441, 50, 63divcld 10680 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) ∈ ℂ)
65 limcresi 23455 . . . . . 6 (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶))
6623feqmptd 6159 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)))
6766reseq1d 5316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})))
68 difss 3699 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌
69 resmpt 5369 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧))
7167, 70syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7271oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
7365, 72syl5sseq 3616 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
74 f1ocnvfv1 6432 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
751, 4, 74syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
76 dvcnv.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
7776, 5cnlimci 23459 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7875, 77eqeltrrd 2689 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7973, 78sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
8045, 35, 4dvlem 23466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ)
8137, 40, 52subne0d 10280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ≠ 0)
8250, 41, 63, 81divne0d 10696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0)
83 eldifsn 4260 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0))
8480, 82, 83sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
85 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))
8684, 85fmptd 6292 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶(ℂ ∖ {0}))
87 difss 3699 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
8887a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
89 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
904, 32eleqtrrd 2691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
91 dvfg 23476 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
92 ffun 5961 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
93 funfvbrb 6238 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
949, 91, 92, 934syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
9590, 94mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))
966, 7, 85, 11, 45, 34eldv 23468 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))))
9795, 96mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶)))
9897simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))
99 resttopon 20775 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1008, 87, 99mp2an 704 . . . . . . . . 9 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1028a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
103 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104101, 102, 103cnmptc 21275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 1) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
105101cnmptid 21274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn (𝐽t (ℂ ∖ {0}))))
1067, 89divcn 22479 . . . . . . . . 9 / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽))
108101, 104, 105, 107cnmpt12f 21279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
1099, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11032feq2d 5944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
111109, 110mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
112111, 4ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
113 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
115 fnfvelrn 6264 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
116114, 90, 115syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
117 dvcnv.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
118 nelne2 2879 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ∧ ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
119116, 117, 118syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
120 eldifsn 4260 . . . . . . . 8 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0))
121112, 119, 120sylanbrc 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
122100toponunii 20547 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
123122cncnpi 20892 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
124108, 121, 123syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
12586, 88, 7, 89, 98, 124limccnp 23461 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶))
126 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) → (1 / 𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
127 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
128 ovex 6577 . . . . . . 7 (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ V
129126, 127, 128fvmpt 6191 . . . . . 6 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
130121, 129syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
131 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
132 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
133 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑥 = (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) → (1 / 𝑥) = (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
13484, 131, 132, 133fmptco 6303 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))))
13550, 41, 63, 81recdivd 10697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
136135mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
137134, 136eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
138137oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
139125, 130, 1383eltr3d 2702 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
140 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑦𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
141 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
142141oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))
143140, 142oveq12d 6567 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))))
144 eldifsni 4261 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
145144adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
146145necomd 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝐶) ≠ 𝑧)
1471adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
1484adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶𝑋)
14924adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧𝑌)
150 f1ocnvfvb 6435 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
151147, 148, 149, 150syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
152151necon3abid 2818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) ≠ 𝑧 ↔ ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶))
153146, 152mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶)
154153pm2.21d 117 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) = 𝐶 → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
155154impr 647 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) = 𝐶)) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
15630, 64, 79, 139, 143, 155limcco 23463 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
15775eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
158157adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
159158oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))))
160 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
1611, 24, 160syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
162161oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)) = (𝑧 − (𝐹𝐶)))
163159, 162oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
164163mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))))
165164oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
166156, 165eleqtrd 2690 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
167 eqid 2610 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
16823, 35fssd 5970 . . 3 (𝜑𝐹:𝑌⟶ℂ)
1696, 7, 167, 11, 168, 43eldv 23468 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌) ∧ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))))
17020, 166, 169mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145   / cdiv 10563   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  intcnt 20631   Cn ccn 20838   CnP ccnp 20839   ×t ctx 21173  –cn→ccncf 22487   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvcnv  23544
 Copyright terms: Public domain W3C validator