Theorem topontop 20541

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 20540	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  TopOnctopon 20518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topon 20523

This theorem is referenced by:  toponmax  20543  topontopi  20546  topgele  20549  istps  20551  en2top  20600  pptbas  20622  toponmre  20707  cldmreon  20708  iscldtop  20709  neiptopreu  20747  resttopon  20775  resttopon2  20782  restlp  20797  restperf  20798  perfopn  20799  ordtopn3  20810  ordtcld1  20811  ordtcld2  20812  ordttop  20814  lmfval  20846  cnfval  20847  cnpfval  20848  tgcn  20866  tgcnp  20867  subbascn  20868  iscnp4  20877  iscncl  20883  cncls2  20887  cncls  20888  cnntr  20889  cncnp  20894  cnindis  20906  lmcls  20916  iscnrm2  20952  ist0-2  20958  ist1-2  20961  ishaus2  20965  hausnei2  20967  isreg2  20991  sscmp  21018  dfcon2  21032  clscon  21043  concompcld  21047  1stccnp  21075  locfincf  21144  kgenval  21148  kgenftop  21153  1stckgenlem  21166  kgen2ss  21168  txtopon  21204  pttopon  21209  txcls  21217  ptclsg  21228  dfac14lem  21230  xkoccn  21232  txcnp  21233  ptcnplem  21234  txlm  21261  cnmpt2res  21290  cnmptkp  21293  cnmptk1  21294  cnmpt1k  21295  cnmptkk  21296  cnmptk1p  21298  cnmptk2  21299  xkoinjcn  21300  qtoptopon  21317  qtopcld  21326  qtoprest  21330  qtopcmap  21332  kqval  21339  regr1lem  21352  kqreglem1  21354  kqreglem2  21355  kqnrmlem1  21356  kqnrmlem2  21357  kqtop  21358  pt1hmeo  21419  xpstopnlem1  21422  xkohmeo  21428  neifil  21494  trnei  21506  elflim  21585  flimss1  21587  flimopn  21589  fbflim2  21591  flimcf  21596  flimclslem  21598  flffval  21603  flfnei  21605  flftg  21610  cnpflf2  21614  isfcls2  21627  fclsopn  21628  fclsnei  21633  fclscf  21639  fclscmp  21644  fcfval  21647  fcfnei  21649  cnpfcf  21655  tgpmulg2  21708  tmdgsum  21709  tmdgsum2  21710  subgntr  21720  opnsubg  21721  clssubg  21722  clsnsg  21723  cldsubg  21724  snclseqg  21729  tgphaus  21730  qustgpopn  21733  prdstgpd  21738  tsmsgsum  21752  tsmsid  21753  tgptsmscld  21764  mopntop  22055  metdseq0  22465  cnmpt2pc  22535  ishtpy  22579  om1val  22638  pi1val  22645  csscld  22856  clsocv  22857  relcmpcmet  22923  bcth2  22935  limcres  23456  perfdvf  23473  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvcmulf  23514  dvmptres2  23531  dvmptcmul  23533  dvmptntr  23540  dvcnvlem  23543  lhop2  23582  lhop  23583  dvcnvrelem2  23585  taylthlem1  23931  neibastop2  31526  neibastop3  31527  topjoin  31530  bj-topontopon  32235  bj-toprntopon  32244  dissneqlem  32363  istopclsd  36281  dvresntr  38806