Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subbascn 20868
 Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
subbascn.2 (𝜑𝐵𝑉)
subbascn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
subbascn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
subbascn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 subbascn.3 . . 3 (𝜑𝐾 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3 subbascn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
41, 2, 3tgcn 20866 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 subbascn.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → 𝐵𝑉)
7 ssfii 8208 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (fi‘𝐵))
8 ssralv 3629 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (fi‘𝐵) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
96, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
10 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
11 elfi 8202 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧))
1210, 6, 11sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧))
13 simpr2 1061 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥 = 𝑧)
1413imaeq2d 5385 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
15 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
1615ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → Fun 𝐹)
1713, 10syl6eqelr 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ V)
18 intex 4747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
1917, 18sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ≠ ∅)
20 intpreima 6254 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
2116, 19, 20syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
2214, 21eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
23 topontop 20541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2524ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
26 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ Fin
27 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2826, 27sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ Fin)
29 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐵
3029, 27sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
3130elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑧𝐵)
32 simpr3 1062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
33 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3431, 32, 33sylc 63 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
35 iinopn 20532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
3722, 36eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑥 = 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
38373exp2 1277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))))
3938rexlimdv 3012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
4012, 39sylbid 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
4140com23 84 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
4241ralrimdv 2951 . . . . 5 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
43 imaeq2 5381 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
4443eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
4544cbvralv 3147 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
4642, 45syl6ibr 241 . . . 4 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
479, 46impbid 201 . . 3 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4847pm5.32da 671 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐵)(𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
494, 48bitrd 267 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410  ∩ ciin 4456  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ficfi 8199  topGenctg 15921  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841 This theorem is referenced by:  xkoccn  21232  ptrescn  21252  xkoco1cn  21270  xkoco2cn  21271  xkococn  21273  xkoinjcn  21300  ordthmeolem  21414
 Copyright terms: Public domain W3C validator