Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptntr 23540
 Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvmptntr.x (𝜑𝑋𝑆)
dvmptntr.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptntr.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptntr (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22396 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 resttopon 20775 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
71, 6syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
8 topontop 20541 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑆)
11 toponuni 20542 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
1310, 12sseqtrd 3604 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝐽)
14 eqid 2610 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1514ntridm 20682 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
169, 13, 15syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
17 dvmptntr.i . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
1817fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
1916, 18eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
2019reseq2d 5317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
21 dvmptntr.a . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
2321, 22fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
242, 1dvres 23481 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑋𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
2614ntrss2 20671 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
279, 13, 26syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2817, 27eqsstr3d 3603 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
2928, 10sstrd 3578 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑆)
302, 1dvres 23481 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
3220, 25, 313eqtr4d 2654 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)))
33 ssid 3587 . . . . 5 𝑋𝑋
34 resmpt 5369 . . . . 5 (𝑋𝑋 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
3635oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3732, 36eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3828resmptd 5371 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3938oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
4037, 39eqtr3d 2646 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  intcnt 20631   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  rolle  23557  cmvth  23558  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dvle  23574  dvfsumabs  23590  ftc2  23611  itgparts  23614  itgsubstlem  23615  lgamgulmlem2  24556  ftc2nc  32664  areacirc  32675  itgsin0pilem1  38841  itgsbtaddcnst  38874
 Copyright terms: Public domain W3C validator