Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 23614
 Description: Integration by parts. If 𝐵(𝑥) is the derivative of 𝐴(𝑥) and 𝐷(𝑥) is the derivative of 𝐶(𝑥), and 𝐸 = (𝐴 · 𝐵)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 · 𝐵)(𝑌), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 · 𝐷 from 𝑋 to 𝑌 is equal to 𝐹 − 𝐸 minus the integral of 𝐵 · 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgparts.le (𝜑𝑋𝑌)
itgparts.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.d (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.ad (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgparts.dc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
itgparts.f ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
2 cncff 22504 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
54fmpt 6289 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
63, 5sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ)
76r19.21bi 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 ioossicc 12130 . . . . . . 7 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
98sseli 3564 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 itgparts.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
11 cncff 22504 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
13 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)
1413fmpt 6289 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1512, 14sylibr 223 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 2916 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
187, 17mulcld 9939 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
19 itgparts.bc . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
2018, 19itgcl 23356 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
21 itgparts.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
22 cncff 22504 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
24 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)
2524fmpt 6289 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2623, 25sylibr 223 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ)
2726r19.21bi 2916 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
289, 27sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 itgparts.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
30 cncff 22504 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
32 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷)
3332fmpt 6289 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3431, 33sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ)
3534r19.21bi 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 9939 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
37 itgparts.ad . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
3836, 37itgcl 23356 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 ∈ ℂ)
3920, 38pncan2d 10273 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥)
4018, 19, 36, 37itgadd 23397 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥))
41 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑡 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡))
42 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥)
43 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥
44 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥 D
45 nfmpt1 4675 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
4643, 44, 45nfov 6575 . . . . . . . 8 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))
47 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
4846, 47nffv 6110 . . . . . . 7 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡)
4941, 42, 48cbvitg 23348 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡
50 itgparts.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 itgparts.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 itgparts.le . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
53 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
55 iccssre 12126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5650, 51, 55syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5727, 16mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5958tgioo2 22414 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60 iccntr 22432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6150, 51, 60syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 23540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))))
63 reelprrecn 9907 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6554, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 23540 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
66 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6765, 66eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6854, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 23540 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)))
69 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7068, 69eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7164, 28, 7, 67, 17, 35, 70dvmptmul 23530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
7235, 28mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
7372oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
7473mpteq2dva 4672 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7562, 71, 743eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7658addcn 22476 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7776a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
78 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶))
798, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)
80 rescncf 22508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
818, 10, 80mpsyl 66 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8279, 81syl5eqelr 2693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
831, 82mulcncf 23023 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
84 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴))
858, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)
86 rescncf 22508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
878, 21, 86mpsyl 66 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8885, 87syl5eqelr 2693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8988, 29mulcncf 23023 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9058, 77, 83, 89cncfmpt2f 22525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9175, 90eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9218, 19, 36, 37ibladd 23393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ 𝐿1)
9375, 92eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ 𝐿1)
9421, 10mulcncf 23023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
9550, 51, 52, 91, 93, 94ftc2 23611 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9649, 95syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9775fveq1d 6105 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
99 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
100 ovex 6577 . . . . . . . 8 ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V
101 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
102101fvmpt2 6200 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10399, 100, 102sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10498, 103eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
105104itgeq2dv 23354 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥)
10650rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
10751rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
108 ubicc2 12160 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
109106, 107, 52, 108syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
110 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝐶) ∈ V
111110csbex 4721 . . . . . . . 8 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
112 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
113112fvmpts 6194 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
114109, 111, 113sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
115 itgparts.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
11651, 115csbied 3526 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
117114, 116eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝐹)
118 lbicc2 12159 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
119106, 107, 52, 118syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
120110csbex 4721 . . . . . . . 8 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
121112fvmpts 6194 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
122119, 120, 121sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
123 itgparts.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
12450, 123csbied 3526 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
125122, 124eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝐸)
126117, 125oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)) = (𝐹𝐸))
12796, 105, 1263eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (𝐹𝐸))
12840, 127eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) = (𝐹𝐸))
129128oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
13039, 129eqtr3d 2646 1 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  –cn→ccncf 22487  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  38845  fourierdlem39  39039
 Copyright terms: Public domain W3C validator