Theorem pncan2d 10273

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  2txmxeqx  11026  xov1plusxeqvd  12189  fzocatel  12399  expaddzlem  12765  hashf1lem2  13097  swrdccat2  13310  imval2  13739  clim2ser  14233  serf0  14259  fsumrev2  14356  geolim2  14441  mertenslem2  14456  mertens  14457  bpolydiflem  14624  eirrlem  14771  dvdsadd2b  14866  bitsmod  14996  sadadd3  15021  mulgdirlem  17395  coe1tmmul2fv  19469  coe1pwmulfv  19471  cnsubrg  19625  reperflem  22429  reconnlem2  22438  ioorcl2  23146  uniioombllem3  23159  lhop1lem  23580  dvfsumabs  23590  ftc1lem1  23602  itgparts  23614  itgsubstlem  23615  coe1mul3  23663  coemulhi  23814  abelthlem6  23994  efif1olem4  24095  efopn  24204  dcubic2  24371  log2tlbnd  24472  birthdaylem2  24479  jensenlem2  24514  fsumharmonic  24538  lgamcvg2  24581  chtdif  24684  chtublem  24736  bposlem9  24817  lgsquadlem1  24905  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrisum0lem1b  25004  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd2  25056  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd1a  25074  axsegconlem9  25605  axpaschlem  25620  2sqmod  28979  archiabllem1a  29076  probdif  29809  ballotlemsi  29903  dnizphlfeqhlf  31636  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem16  31688  bj-bary1lem1  32338  ftc1anc  32663  jm2.27c  36592  jm3.1lem2  36603  radcnvrat  37535  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  fzisoeu  38455  supxrgelem  38494  mccllem  38664  ioodvbdlimc1lem2  38822  stirlinglem5  38971  fourierdlem7  39007  fourierdlem19  39019  fourierdlem26  39026  fourierdlem42  39042  fourierdlem63  39062  fourierdlem65  39064  fourierdlem79  39078  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem101  39100  fourierdlem112  39111  qndenserrnbllem  39190  sigarcol  39702  dignn0flhalflem1  42207