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Theorem itgparts 21637
Description: Integration by parts. If  B (
x ) is the derivative of  A ( x ) and  D ( x ) is the derivative of  C ( x ), and  E  =  ( A  x.  B ) ( X ) and  F  =  ( A  x.  B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of  A  x.  D from  X to  Y is equal to  F  -  E minus the integral of  B  x.  C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgparts.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgparts.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgparts.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.ad  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L^1 )
itgparts.bc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L^1 )
itgparts.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgparts.dc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
itgparts.e  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
itgparts.f  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
Assertion
Ref Expression
itgparts  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y    x, E    x, F
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
2 cncff 20587 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
54fmpt 5965 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
63, 5sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
76r19.21bi 2912 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
8 ioossicc 11484 . . . . . . 7  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
98sseli 3452 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
10 itgparts.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
11 cncff 20587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )
1413fmpt 5965 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C ) : ( X [,] Y
) --> CC )
1512, 14sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC )
1615r19.21bi 2912 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  CC )
187, 17mulcld 9509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
19 itgparts.bc . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L^1 )
2018, 19itgcl 21379 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  e.  CC )
21 itgparts.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
22 cncff 20587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
2524fmpt 5965 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> CC )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC )
2726r19.21bi 2912 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
289, 27sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  CC )
29 itgparts.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
30 cncff 20587 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D )
3332fmpt 5965 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D ) : ( X (,) Y
) --> CC )
3431, 33sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC )
3534r19.21bi 2912 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
3628, 35mulcld 9509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
37 itgparts.ad . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L^1 )
3836, 37itgcl 21379 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  e.  CC )
3920, 38pncan2d 9824 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x )
4018, 19, 36, 37itgadd 21420 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x ) )
41 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t ) )
42 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)
43 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x RR
44 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
45 nfmpt1 4481 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )
4643, 44, 45nfov 6215 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )
47 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
t
4846, 47nffv 5798 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t
)
4941, 42, 48cbvitg 21371 . . . . . 6  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t
50 itgparts.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 itgparts.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 itgparts.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
53 ax-resscn 9442 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
55 iccssre 11480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5650, 51, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5727, 16mulcld 9509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
58 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5958tgioo2 20498 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
60 iccntr 20516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6150, 51, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 21563 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) )
63 reelprrecn 9477 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6554, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 21563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
66 itgparts.da . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6765, 66eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6854, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 21563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) ) )
69 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7068, 69eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7164, 28, 7, 67, 17, 35, 70dvmptmul 21553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( D  x.  A ) ) ) )
7235, 28mulcomd 9510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( D  x.  A )  =  ( A  x.  D ) )
7372oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
7473mpteq2dva 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7562, 71, 743eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7658addcn 20559 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7776a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7858mulcn 20561 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
80 resmpt 5256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  C ) )
818, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )
82 rescncf 20591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
838, 10, 82mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8481, 83syl5eqelr 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8558, 79, 1, 84cncfmpt2f 20608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
86 resmpt 5256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  A ) )
878, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )
88 rescncf 20591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
898, 21, 88mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
9087, 89syl5eqelr 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9158, 79, 90, 29cncfmpt2f 20608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9258, 77, 85, 91cncfmpt2f 20608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9375, 92eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9418, 19, 36, 37ibladd 21416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  L^1 )
9575, 94eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  L^1 )
9658, 79, 21, 10cncfmpt2f 20608 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
9750, 51, 52, 93, 95, 96ftc2 21634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
9849, 97syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
9975fveq1d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x ) )
10099adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x ) )
101 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
102 ovex 6217 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e. 
_V
103 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
104103fvmpt2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) )
105101, 102, 104sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
106100, 105eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
107106itgeq2dv 21377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  _d x )
10850rexrd 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
10951rexrd 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
110 ubicc2 11505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
111108, 109, 52, 110syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
112 ovex 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
113112csbex 4525 . . . . . . . 8  |-  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )  e. 
_V
114 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) )
115114fvmpts 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
116111, 113, 115sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
117 itgparts.f . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
11851, 117csbied 3414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  F )
119116, 118eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  F )
120 lbicc2 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
121108, 109, 52, 120syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
122112csbex 4525 . . . . . . . 8  |-  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )  e. 
_V
123114fvmpts 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
124121, 122, 123sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
125 itgparts.e . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
12650, 125csbied 3414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  E )
127124, 126eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  E )
128119, 127oveq12d 6210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X ) )  =  ( F  -  E
) )
12998, 107, 1283eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( F  -  E ) )
13040, 129eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D
)  _d x )  =  ( F  -  E ) )
131130oveq1d 6207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x ) )
13239, 131eqtr3d 2494 1  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   [_csb 3388    C_ wss 3428   {cpr 3979   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ran crn 4941    |` cres 4942   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384    + caddc 9388    x. cmul 9390   RR*cxr 9520    <_ cle 9522    - cmin 9698   (,)cioo 11403   [,]cicc 11406   TopOpenctopn 14464   topGenctg 14480  ℂfldccnfld 17929   intcnt 18739    Cn ccn 18946    tX ctx 19251   -cn->ccncf 20570   L^1cibl 21215   S.citg 21216    _D cdv 21456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-ofr 6423  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218  df-itg2 21219  df-ibl 21220  df-itg 21221  df-0p 21266  df-limc 21459  df-dv 21460
This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  29934
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