Theorem itgparts 22617

Description: Integration by parts. If B ( x ) is the derivative of A ( x ) and D ( x ) is the derivative of C ( x ), and E = ( A x. B ) ( X ) and F = ( A x. B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of A x. D from X to Y is equal to F - E minus the integral of B x. C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgparts.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgparts.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgparts.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgparts.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.c	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.d	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.ad	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
itgparts.bc	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
itgparts.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgparts.dc	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
itgparts.e	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
itgparts.f	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )

Assertion

Ref	Expression
itgparts	|- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, Y   x, E   x, F

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgparts

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgparts.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
2		cncff 21566	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
5	4	fmpt 6028	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
6	3, 5	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
7	6	r19.21bi 2823	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
8		ioossicc 11613	. . . . . . 7 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
9	8	sseli 3485	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
10		itgparts.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
11		cncff 21566	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> C )
14	13	fmpt 6028	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC )
16	15	r19.21bi 2823	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	sylan2 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC )
18	7, 17	mulcld 9605	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
19		itgparts.bc	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
20	18, 19	itgcl 22359	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x e. CC )
21		itgparts.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
22		cncff 21566	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
25	24	fmpt 6028	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC )
27	26	r19.21bi 2823	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
28	9, 27	sylan2 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. CC )
29		itgparts.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
30		cncff 21566	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D )
33	32	fmpt 6028	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC )
35	34	r19.21bi 2823	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> D e. CC )
36	28, 35	mulcld 9605	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
37		itgparts.ad	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 22359	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x e. CC )
39	20, 38	pncan2d 9924	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x )
40	18, 19, 36, 37	itgadd 22400	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) )
41		fveq2 5848	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) )
42		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x )
43		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ x RR
44		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
45		nfmpt1 4528	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
46	43, 44, 45	nfov 6296	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) )
47		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x t
48	46, 47	nffv 5855	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t )
49	41, 42, 48	cbvitg 22351	. . . . . 6 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t
50		itgparts.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
51		itgparts.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
52		itgparts.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ Y )
53		ax-resscn 9538	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
55		iccssre 11609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
56	50, 51, 55	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	27, 16	mulcld 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
58		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
59	58	tgioo2 21477	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
60		iccntr 21495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
61	50, 51, 60	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
62	54, 56, 57, 59, 58, 61	dvmptntr 22543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) )
63		reelprrecn 9573	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
65	54, 56, 27, 59, 58, 61	dvmptntr 22543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
66		itgparts.da	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
67	65, 66	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
68	54, 56, 16, 59, 58, 61	dvmptntr 22543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) )
69		itgparts.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
70	68, 69	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
71	64, 28, 7, 67, 17, 35, 70	dvmptmul 22533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
72	35, 28	mulcomd 9606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( D x. A ) = ( A x. D ) )
73	72	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
74	73	mpteq2dva 4525	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2499	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
76	58	addcn 21538	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
78		resmpt 5311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) )
79	8, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C )
80		rescncf 21570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
81	8, 10, 80	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
82	79, 81	syl5eqelr 2547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
83	1, 82	mulcncf 22028	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84		resmpt 5311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) )
85	8, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A )
86		rescncf 21570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
87	8, 21, 86	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
88	85, 87	syl5eqelr 2547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
89	88, 29	mulcncf 22028	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
90	58, 77, 83, 89	cncfmpt2f 21587	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
91	75, 90	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
92	18, 19, 36, 37	ibladd 22396	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. L^1 )
93	75, 92	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. L^1 )
94	21, 10	mulcncf 22028	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
95	50, 51, 52, 91, 93, 94	ftc2 22614	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
96	49, 95	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
97	75	fveq1d 5850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
98	97	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
99		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
100		ovex 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V
101		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
102	101	fvmpt2 5939	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
103	99, 100, 102	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
104	98, 103	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
105	104	itgeq2dv 22357	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x )
106	50	rexrd 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
107	51	rexrd 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
108		ubicc2 11640	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
109	106, 107, 52, 108	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
110		ovex 6298	. . . . . . . . 9 |- ( A x. C ) e. _V
111	110	csbex 4572	. . . . . . . 8 |- [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V
112		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
113	112	fvmpts 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( X [,] Y ) /\ [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
114	109, 111, 113	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
115		itgparts.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )
116	51, 115	csbied 3447	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ ( A x. C ) = F )
117	114, 116	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = F )
118		lbicc2 11639	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
119	106, 107, 52, 118	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
120	110	csbex 4572	. . . . . . . 8 |- [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V
121	112	fvmpts 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( X [,] Y ) /\ [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
122	119, 120, 121	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
123		itgparts.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
124	50, 123	csbied 3447	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ ( A x. C ) = E )
125	122, 124	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = E )
126	117, 125	oveq12d 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) = ( F - E ) )
127	96, 105, 126	3eqtr3d 2503	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( F - E ) )
128	40, 127	eqtr3d 2497	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) = ( F - E ) )
129	128	oveq1d 6285	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )
130	39, 129	eqtr3d 2497	1 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [_csb 3420   C_ wss 3461   {cpr 4018   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ran crn 4989   |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   - cmin 9796   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   TopOpenctopn 14914   topGenctg 14930  ℂ_fldccnfld 18618   intcnt 19688   Cn ccn 19895   tX ctx 20230   -cn->ccncf 21549   L^1cibl 22195   S.citg 22196   _D cdv 22436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199  df-ibl 22200  df-itg 22201  df-0p 22246  df-limc 22439  df-dv 22440

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  31994  fourierdlem39  32170