Theorem itgparts 21499

Description: Integration by parts. If B ( x ) is the derivative of A ( x ) and D ( x ) is the derivative of C ( x ), and E = ( A x. B ) ( X ) and F = ( A x. B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of A x. D from X to Y is equal to F - E minus the integral of B x. C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgparts.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgparts.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgparts.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgparts.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.c	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.d	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.ad	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
itgparts.bc	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
itgparts.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgparts.dc	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
itgparts.e	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
itgparts.f	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )

Assertion

Ref	Expression
itgparts	|- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, Y   x, E   x, F

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgparts

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgparts.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
2		cncff 20449	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4		eqid 2438	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
5	4	fmpt 5859	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
6	3, 5	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
7	6	r19.21bi 2809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
8		ioossicc 11373	. . . . . . 7 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
9	8	sseli 3347	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
10		itgparts.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
11		cncff 20449	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> C )
14	13	fmpt 5859	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC )
16	15	r19.21bi 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC )
18	7, 17	mulcld 9398	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
19		itgparts.bc	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
20	18, 19	itgcl 21241	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x e. CC )
21		itgparts.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
22		cncff 20449	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
25	24	fmpt 5859	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC )
27	26	r19.21bi 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
28	9, 27	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. CC )
29		itgparts.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
30		cncff 20449	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32		eqid 2438	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D )
33	32	fmpt 5859	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC )
35	34	r19.21bi 2809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> D e. CC )
36	28, 35	mulcld 9398	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
37		itgparts.ad	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 21241	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x e. CC )
39	20, 38	pncan2d 9713	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x )
40	18, 19, 36, 37	itgadd 21282	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) )
41		fveq2 5686	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) )
42		nfcv 2574	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x )
43		nfcv 2574	. . . . . . . . 9 |- F/_ x RR
44		nfcv 2574	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
45		nfmpt1 4376	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
46	43, 44, 45	nfov 6109	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) )
47		nfcv 2574	. . . . . . . 8 |- F/_ x t
48	46, 47	nffv 5693	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t )
49	41, 42, 48	cbvitg 21233	. . . . . 6 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t
50		itgparts.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
51		itgparts.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
52		itgparts.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ Y )
53		ax-resscn 9331	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
55		iccssre 11369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
56	50, 51, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	27, 16	mulcld 9398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
58		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
59	58	tgioo2 20360	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
60		iccntr 20378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
61	50, 51, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
62	54, 56, 57, 59, 58, 61	dvmptntr 21425	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) )
63		reelprrecn 9366	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
65	54, 56, 27, 59, 58, 61	dvmptntr 21425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
66		itgparts.da	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
67	65, 66	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
68	54, 56, 16, 59, 58, 61	dvmptntr 21425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) )
69		itgparts.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
70	68, 69	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
71	64, 28, 7, 67, 17, 35, 70	dvmptmul 21415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
72	35, 28	mulcomd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( D x. A ) = ( A x. D ) )
73	72	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
74	73	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
76	58	addcn 20421	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
78	58	mulcn 20423	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
80		resmpt 5151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) )
81	8, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C )
82		rescncf 20453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
83	8, 10, 82	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84	81, 83	syl5eqelr 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
85	58, 79, 1, 84	cncfmpt2f 20470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
86		resmpt 5151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) )
87	8, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A )
88		rescncf 20453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
89	8, 21, 88	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
90	87, 89	syl5eqelr 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
91	58, 79, 90, 29	cncfmpt2f 20470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
92	58, 77, 85, 91	cncfmpt2f 20470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
93	75, 92	eqeltrd 2512	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
94	18, 19, 36, 37	ibladd 21278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. L^1 )
95	75, 94	eqeltrd 2512	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. L^1 )
96	58, 79, 21, 10	cncfmpt2f 20470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
97	50, 51, 52, 93, 95, 96	ftc2 21496	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
98	49, 97	syl5eq 2482	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
99	75	fveq1d 5688	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
101		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
102		ovex 6111	. . . . . . . 8 |- ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V
103		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
104	103	fvmpt2 5776	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
105	101, 102, 104	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
107	106	itgeq2dv 21239	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x )
108	50	rexrd 9425	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
109	51	rexrd 9425	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
110		ubicc2 11394	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
111	108, 109, 52, 110	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
112		ovex 6111	. . . . . . . . 9 |- ( A x. C ) e. _V
113	112	csbex 4420	. . . . . . . 8 |- [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V
114		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
115	114	fvmpts 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( X [,] Y ) /\ [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
116	111, 113, 115	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
117		itgparts.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )
118	51, 117	csbied 3309	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ ( A x. C ) = F )
119	116, 118	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = F )
120		lbicc2 11393	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
121	108, 109, 52, 120	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
122	112	csbex 4420	. . . . . . . 8 |- [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V
123	114	fvmpts 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( X [,] Y ) /\ [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
124	121, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
125		itgparts.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
126	50, 125	csbied 3309	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ ( A x. C ) = E )
127	124, 126	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = E )
128	119, 127	oveq12d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) = ( F - E ) )
129	98, 107, 128	3eqtr3d 2478	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( F - E ) )
130	40, 129	eqtr3d 2472	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) = ( F - E ) )
131	130	oveq1d 6101	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )
132	39, 131	eqtr3d 2472	1 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   [_csb 3283   C_ wss 3323   {cpr 3874   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   ran crn 4836   |` cres 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   + caddc 9277   x. cmul 9279   RR*cxr 9409   <_ cle 9411   - cmin 9587   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368  ℂ_fldccnfld 17798   intcnt 18601   Cn ccn 18808   tX ctx 19113   -cn->ccncf 20432   L^1cibl 21077   S.citg 21078   _D cdv 21318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-ovol 20928  df-vol 20929  df-mbf 21079  df-itg1 21080  df-itg2 21081  df-ibl 21082  df-itg 21083  df-0p 21128  df-limc 21321  df-dv 21322

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  29765