Theorem itgparts 21637

Description: Integration by parts. If B ( x ) is the derivative of A ( x ) and D ( x ) is the derivative of C ( x ), and E = ( A x. B ) ( X ) and F = ( A x. B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of A x. D from X to Y is equal to F - E minus the integral of B x. C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgparts.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgparts.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgparts.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgparts.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.c	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.d	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.ad	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
itgparts.bc	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
itgparts.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgparts.dc	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
itgparts.e	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
itgparts.f	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )

Assertion

Ref	Expression
itgparts	|- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, Y   x, E   x, F

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgparts

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgparts.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
2		cncff 20587	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
5	4	fmpt 5965	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
6	3, 5	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
7	6	r19.21bi 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
8		ioossicc 11484	. . . . . . 7 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
9	8	sseli 3452	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
10		itgparts.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
11		cncff 20587	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> C )
14	13	fmpt 5965	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC )
16	15	r19.21bi 2912	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC )
18	7, 17	mulcld 9509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
19		itgparts.bc	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
20	18, 19	itgcl 21379	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x e. CC )
21		itgparts.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
22		cncff 20587	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
25	24	fmpt 5965	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC )
27	26	r19.21bi 2912	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
28	9, 27	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. CC )
29		itgparts.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
30		cncff 20587	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D )
33	32	fmpt 5965	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC )
35	34	r19.21bi 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> D e. CC )
36	28, 35	mulcld 9509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
37		itgparts.ad	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 21379	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x e. CC )
39	20, 38	pncan2d 9824	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x )
40	18, 19, 36, 37	itgadd 21420	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) )
41		fveq2 5791	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) )
42		nfcv 2613	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x )
43		nfcv 2613	. . . . . . . . 9 |- F/_ x RR
44		nfcv 2613	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
45		nfmpt1 4481	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
46	43, 44, 45	nfov 6215	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) )
47		nfcv 2613	. . . . . . . 8 |- F/_ x t
48	46, 47	nffv 5798	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t )
49	41, 42, 48	cbvitg 21371	. . . . . 6 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t
50		itgparts.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
51		itgparts.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
52		itgparts.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ Y )
53		ax-resscn 9442	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
55		iccssre 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
56	50, 51, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	27, 16	mulcld 9509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
58		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
59	58	tgioo2 20498	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
60		iccntr 20516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
61	50, 51, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
62	54, 56, 57, 59, 58, 61	dvmptntr 21563	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) )
63		reelprrecn 9477	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
65	54, 56, 27, 59, 58, 61	dvmptntr 21563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
66		itgparts.da	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
67	65, 66	eqtr3d 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
68	54, 56, 16, 59, 58, 61	dvmptntr 21563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) )
69		itgparts.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
70	68, 69	eqtr3d 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
71	64, 28, 7, 67, 17, 35, 70	dvmptmul 21553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
72	35, 28	mulcomd 9510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( D x. A ) = ( A x. D ) )
73	72	oveq2d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
74	73	mpteq2dva 4478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2496	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
76	58	addcn 20559	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
78	58	mulcn 20561	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
80		resmpt 5256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) )
81	8, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C )
82		rescncf 20591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
83	8, 10, 82	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84	81, 83	syl5eqelr 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
85	58, 79, 1, 84	cncfmpt2f 20608	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
86		resmpt 5256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) )
87	8, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A )
88		rescncf 20591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
89	8, 21, 88	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
90	87, 89	syl5eqelr 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
91	58, 79, 90, 29	cncfmpt2f 20608	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
92	58, 77, 85, 91	cncfmpt2f 20608	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
93	75, 92	eqeltrd 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
94	18, 19, 36, 37	ibladd 21416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. L^1 )
95	75, 94	eqeltrd 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. L^1 )
96	58, 79, 21, 10	cncfmpt2f 20608	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
97	50, 51, 52, 93, 95, 96	ftc2 21634	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
98	49, 97	syl5eq 2504	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
99	75	fveq1d 5793	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
101		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
102		ovex 6217	. . . . . . . 8 |- ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V
103		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
104	103	fvmpt2 5882	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
105	101, 102, 104	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
107	106	itgeq2dv 21377	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x )
108	50	rexrd 9536	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
109	51	rexrd 9536	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
110		ubicc2 11505	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
111	108, 109, 52, 110	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
112		ovex 6217	. . . . . . . . 9 |- ( A x. C ) e. _V
113	112	csbex 4525	. . . . . . . 8 |- [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V
114		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
115	114	fvmpts 5877	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( X [,] Y ) /\ [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
116	111, 113, 115	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
117		itgparts.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )
118	51, 117	csbied 3414	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ ( A x. C ) = F )
119	116, 118	eqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = F )
120		lbicc2 11504	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
121	108, 109, 52, 120	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
122	112	csbex 4525	. . . . . . . 8 |- [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V
123	114	fvmpts 5877	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( X [,] Y ) /\ [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
124	121, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
125		itgparts.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
126	50, 125	csbied 3414	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ ( A x. C ) = E )
127	124, 126	eqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = E )
128	119, 127	oveq12d 6210	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) = ( F - E ) )
129	98, 107, 128	3eqtr3d 2500	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( F - E ) )
130	40, 129	eqtr3d 2494	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) = ( F - E ) )
131	130	oveq1d 6207	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )
132	39, 131	eqtr3d 2494	1 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   [_csb 3388   C_ wss 3428   {cpr 3979   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   ran crn 4941   |` cres 4942   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   + caddc 9388   x. cmul 9390   RR*cxr 9520   <_ cle 9522   - cmin 9698   (,)cioo 11403   [,]cicc 11406   TopOpenctopn 14464   topGenctg 14480  ℂ_fldccnfld 17929   intcnt 18739   Cn ccn 18946   tX ctx 19251   -cn->ccncf 20570   L^1cibl 21215   S.citg 21216   _D cdv 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-ofr 6423  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218  df-itg2 21219  df-ibl 21220  df-itg 21221  df-0p 21266  df-limc 21459  df-dv 21460

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  29934