Theorem itgparts 21360

Description: Integration by parts. If B ( x ) is the derivative of A ( x ) and D ( x ) is the derivative of C ( x ), and E = ( A x. B ) ( X ) and F = ( A x. B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of A x. D from X to Y is equal to F - E minus the integral of B x. C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgparts.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgparts.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgparts.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgparts.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.c	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.d	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.ad	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
itgparts.bc	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
itgparts.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgparts.dc	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
itgparts.e	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
itgparts.f	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )

Assertion

Ref	Expression
itgparts	|- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, Y   x, E   x, F

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgparts

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgparts.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
2		cncff 20310	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
5	4	fmpt 5852	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
6	3, 5	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
7	6	r19.21bi 2804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
8		ioossicc 11368	. . . . . . 7 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
9	8	sseli 3340	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
10		itgparts.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
11		cncff 20310	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13		eqid 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> C )
14	13	fmpt 5852	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC )
16	15	r19.21bi 2804	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	sylan2 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC )
18	7, 17	mulcld 9393	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
19		itgparts.bc	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
20	18, 19	itgcl 21102	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x e. CC )
21		itgparts.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
22		cncff 20310	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24		eqid 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
25	24	fmpt 5852	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC )
27	26	r19.21bi 2804	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
28	9, 27	sylan2 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. CC )
29		itgparts.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
30		cncff 20310	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D )
33	32	fmpt 5852	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC )
35	34	r19.21bi 2804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> D e. CC )
36	28, 35	mulcld 9393	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
37		itgparts.ad	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 21102	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x e. CC )
39	20, 38	pncan2d 9708	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x )
40	18, 19, 36, 37	itgadd 21143	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) )
41		fveq2 5679	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) )
42		nfcv 2569	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x )
43		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ x RR
44		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
45		nfmpt1 4369	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
46	43, 44, 45	nfov 6103	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) )
47		nfcv 2569	. . . . . . . 8 |- F/_ x t
48	46, 47	nffv 5686	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t )
49	41, 42, 48	cbvitg 21094	. . . . . 6 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t
50		itgparts.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
51		itgparts.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
52		itgparts.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ Y )
53		ax-resscn 9326	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
55		iccssre 11364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
56	50, 51, 55	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	27, 16	mulcld 9393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
58		eqid 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
59	58	tgioo2 20221	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
60		iccntr 20239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
61	50, 51, 60	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
62	54, 56, 57, 59, 58, 61	dvmptntr 21286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) )
63		reelprrecn 9361	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
65	54, 56, 27, 59, 58, 61	dvmptntr 21286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
66		itgparts.da	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
67	65, 66	eqtr3d 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
68	54, 56, 16, 59, 58, 61	dvmptntr 21286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) )
69		itgparts.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
70	68, 69	eqtr3d 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
71	64, 28, 7, 67, 17, 35, 70	dvmptmul 21276	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
72	35, 28	mulcomd 9394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( D x. A ) = ( A x. D ) )
73	72	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
74	73	mpteq2dva 4366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2469	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
76	58	addcn 20282	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
78	58	mulcn 20284	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
80		resmpt 5144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) )
81	8, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C )
82		rescncf 20314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
83	8, 10, 82	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84	81, 83	syl5eqelr 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
85	58, 79, 1, 84	cncfmpt2f 20331	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
86		resmpt 5144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) )
87	8, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A )
88		rescncf 20314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
89	8, 21, 88	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
90	87, 89	syl5eqelr 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
91	58, 79, 90, 29	cncfmpt2f 20331	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
92	58, 77, 85, 91	cncfmpt2f 20331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
93	75, 92	eqeltrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
94	18, 19, 36, 37	ibladd 21139	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. L^1 )
95	75, 94	eqeltrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. L^1 )
96	58, 79, 21, 10	cncfmpt2f 20331	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
97	50, 51, 52, 93, 95, 96	ftc2 21357	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
98	49, 97	syl5eq 2477	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
99	75	fveq1d 5681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
100	99	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
101		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
102		ovex 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V
103		eqid 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
104	103	fvmpt2 5769	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
105	101, 102, 104	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
107	106	itgeq2dv 21100	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x )
108	50	rexrd 9420	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
109	51	rexrd 9420	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
110		ubicc2 11388	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
111	108, 109, 52, 110	syl3anc 1211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
112		ovex 6105	. . . . . . . . 9 |- ( A x. C ) e. _V
113	112	csbex 4413	. . . . . . . 8 |- [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V
114		eqid 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
115	114	fvmpts 5764	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( X [,] Y ) /\ [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
116	111, 113, 115	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
117		itgparts.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )
118	51, 117	csbied 3302	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ ( A x. C ) = F )
119	116, 118	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = F )
120		lbicc2 11387	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
121	108, 109, 52, 120	syl3anc 1211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
122	112	csbex 4413	. . . . . . . 8 |- [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V
123	114	fvmpts 5764	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( X [,] Y ) /\ [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
124	121, 122, 123	sylancl 655	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
125		itgparts.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
126	50, 125	csbied 3302	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ ( A x. C ) = E )
127	124, 126	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = E )
128	119, 127	oveq12d 6098	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) = ( F - E ) )
129	98, 107, 128	3eqtr3d 2473	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( F - E ) )
130	40, 129	eqtr3d 2467	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) = ( F - E ) )
131	130	oveq1d 6095	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )
132	39, 131	eqtr3d 2467	1 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   [_csb 3276   C_ wss 3316   {cpr 3867   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   |` cres 4829   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   + caddc 9272   x. cmul 9274   RR*cxr 9404   <_ cle 9406   - cmin 9582   (,)cioo 11287   [,]cicc 11290   TopOpenctopn 14342   topGenctg 14358  ℂ_fldccnfld 17661   intcnt 18462   Cn ccn 18669   tX ctx 18974   -cn->ccncf 20293   L^1cibl 20938   S.citg 20939   _D cdv 21179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cc 8592  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-ovol 20789  df-vol 20790  df-mbf 20940  df-itg1 20941  df-itg2 20942  df-ibl 20943  df-itg 20944  df-0p 20989  df-limc 21182  df-dv 21183

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  29637