Theorem itgparts 22183

Description: Integration by parts. If B ( x ) is the derivative of A ( x ) and D ( x ) is the derivative of C ( x ), and E = ( A x. B ) ( X ) and F = ( A x. B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of A x. D from X to Y is equal to F - E minus the integral of B x. C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgparts.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgparts.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgparts.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgparts.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.c	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.d	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
itgparts.ad	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
itgparts.bc	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
itgparts.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgparts.dc	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
itgparts.e	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
itgparts.f	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )

Assertion

Ref	Expression
itgparts	|- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, Y   x, E   x, F

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem itgparts

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgparts.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
2		cncff 21132	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
5	4	fmpt 6040	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
6	3, 5	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
7	6	r19.21bi 2833	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
8		ioossicc 11606	. . . . . . 7 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
9	8	sseli 3500	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
10		itgparts.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
11		cncff 21132	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> C )
14	13	fmpt 6040	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
15	12, 14	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) C e. CC )
16	15	r19.21bi 2833	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC )
18	7, 17	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
19		itgparts.bc	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. L^1 )
20	18, 19	itgcl 21925	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x e. CC )
21		itgparts.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
22		cncff 21132	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
25	24	fmpt 6040	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. CC )
27	26	r19.21bi 2833	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
28	9, 27	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. CC )
29		itgparts.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
30		cncff 21132	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D )
33	32	fmpt 6040	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) D e. CC )
35	34	r19.21bi 2833	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> D e. CC )
36	28, 35	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
37		itgparts.ad	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. L^1 )
38	36, 37	itgcl 21925	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x e. CC )
39	20, 38	pncan2d 9928	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x )
40	18, 19, 36, 37	itgadd 21966	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) )
41		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) )
42		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x )
43		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ x RR
44		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
45		nfmpt1 4536	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
46	43, 44, 45	nfov 6305	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) )
47		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ x t
48	46, 47	nffv 5871	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t )
49	41, 42, 48	cbvitg 21917	. . . . . 6 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t
50		itgparts.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
51		itgparts.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
52		itgparts.le	. . . . . . 7 |- ( ph -> X <_ Y )
53		ax-resscn 9545	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
55		iccssre 11602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
56	50, 51, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	27, 16	mulcld 9612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
58		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
59	58	tgioo2 21043	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
60		iccntr 21061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
61	50, 51, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
62	54, 56, 57, 59, 58, 61	dvmptntr 22109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) )
63		reelprrecn 9580	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
65	54, 56, 27, 59, 58, 61	dvmptntr 22109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
66		itgparts.da	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
67	65, 66	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
68	54, 56, 16, 59, 58, 61	dvmptntr 22109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) )
69		itgparts.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
70	68, 69	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> D ) )
71	64, 28, 7, 67, 17, 35, 70	dvmptmul 22099	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
72	35, 28	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( D x. A ) = ( A x. D ) )
73	72	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
74	73	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) )
76	58	addcn 21104	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
78	58	mulcn 21106	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
80		resmpt 5321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) )
81	8, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> C )
82		rescncf 21136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
83	8, 10, 82	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> C ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84	81, 83	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
85	58, 79, 1, 84	cncfmpt2f 21153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( B x. C ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
86		resmpt 5321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) )
87	8, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> A )
88		rescncf 21136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
89	8, 21, 88	mpsyl 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
90	87, 89	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
91	58, 79, 90, 29	cncfmpt2f 21153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( A x. D ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
92	58, 77, 85, 91	cncfmpt2f 21153	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
93	75, 92	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
94	18, 19, 36, 37	ibladd 21962	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) e. L^1 )
95	75, 94	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) e. L^1 )
96	58, 79, 21, 10	cncfmpt2f 21153	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
97	50, 51, 52, 93, 95, 96	ftc2 22180	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
98	49, 97	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) )
99	75	fveq1d 5866	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) )
101		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
102		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V
103		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
104	103	fvmpt2 5955	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
105	101, 102, 104	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) = ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) )
107	106	itgeq2dv 21923	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x )
108	50	rexrd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
109	51	rexrd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
110		ubicc2 11633	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
111	108, 109, 52, 110	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
112		ovex 6307	. . . . . . . . 9 |- ( A x. C ) e. _V
113	112	csbex 4580	. . . . . . . 8 |- [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V
114		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) )
115	114	fvmpts 5950	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( X [,] Y ) /\ [_ Y / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
116	111, 113, 115	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = [_ Y / x ]_ ( A x. C ) )
117		itgparts.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( A x. C ) = F )
118	51, 117	csbied 3462	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ ( A x. C ) = F )
119	116, 118	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) = F )
120		lbicc2 11632	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
121	108, 109, 52, 120	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
122	112	csbex 4580	. . . . . . . 8 |- [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V
123	114	fvmpts 5950	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( X [,] Y ) /\ [_ X / x ]_ ( A x. C ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
124	121, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = [_ X / x ]_ ( A x. C ) )
125		itgparts.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A x. C ) = E )
126	50, 125	csbied 3462	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ ( A x. C ) = E )
127	124, 126	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) = E )
128	119, 127	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> ( A x. C ) ) ` X ) ) = ( F - E ) )
129	98, 107, 128	3eqtr3d 2516	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( B x. C ) + ( A x. D ) ) _d x = ( F - E ) )
130	40, 129	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) = ( F - E ) )
131	130	oveq1d 6297	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x + S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )
132	39, 131	eqtr3d 2510	1 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( A x. D ) _d x = ( ( F - E ) - S. ( X (,) Y ) ( B x. C ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435   C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   + caddc 9491   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   <_ cle 9625   - cmin 9801   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂ_fldccnfld 18191   intcnt 19284   Cn ccn 19491   tX ctx 19796   -cn->ccncf 21115   L^1cibl 21761   S.citg 21762   _D cdv 22002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  31271  fourierdlem39  31446