Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Unicode version

Theorem itgparts 19884
 Description: Integration by parts. If is the derivative of and is the derivative of , and and , then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of from to is equal to minus the integral of . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x
itgparts.y
itgparts.le
itgparts.a
itgparts.c
itgparts.b
itgparts.d
itgparts.bc
itgparts.da
itgparts.dc
itgparts.e
itgparts.f
Assertion
Ref Expression
itgparts
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8
2 cncff 18876 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
4 eqid 2404 . . . . . . . 8
54fmpt 5849 . . . . . . 7
63, 5sylibr 204 . . . . . 6
76r19.21bi 2764 . . . . 5
8 ioossicc 10952 . . . . . . 7
98sseli 3304 . . . . . 6
10 itgparts.c . . . . . . . . 9
11 cncff 18876 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8
13 eqid 2404 . . . . . . . . 9
1413fmpt 5849 . . . . . . . 8
1512, 14sylibr 204 . . . . . . 7
1615r19.21bi 2764 . . . . . 6
179, 16sylan2 461 . . . . 5
187, 17mulcld 9064 . . . 4
19 itgparts.bc . . . 4
2018, 19itgcl 19628 . . 3
21 itgparts.a . . . . . . . . 9
22 cncff 18876 . . . . . . . . 9
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8
24 eqid 2404 . . . . . . . . 9
2524fmpt 5849 . . . . . . . 8
2623, 25sylibr 204 . . . . . . 7
2726r19.21bi 2764 . . . . . 6
289, 27sylan2 461 . . . . 5
29 itgparts.d . . . . . . . 8
30 cncff 18876 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
32 eqid 2404 . . . . . . . 8
3332fmpt 5849 . . . . . . 7
3431, 33sylibr 204 . . . . . 6
3534r19.21bi 2764 . . . . 5
3628, 35mulcld 9064 . . . 4
37 itgparts.ad . . . 4
3836, 37itgcl 19628 . . 3
3920, 38pncan2d 9369 . 2
4018, 19, 36, 37itgadd 19669 . . . 4
41 fveq2 5687 . . . . . . 7
42 nfcv 2540 . . . . . . 7
43 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
44 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
45 nfmpt1 4258 . . . . . . . . 9
4643, 44, 45nfov 6063 . . . . . . . 8
47 nfcv 2540 . . . . . . . 8
4846, 47nffv 5694 . . . . . . 7
4941, 42, 48cbvitg 19620 . . . . . 6
50 itgparts.x . . . . . . 7
51 itgparts.y . . . . . . 7
52 itgparts.le . . . . . . 7
53 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . 11
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10
55 iccssre 10948 . . . . . . . . . . 11
5650, 51, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
5727, 16mulcld 9064 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 fld fld
5958tgioo2 18787 . . . . . . . . . 10 fldt
60 iccntr 18805 . . . . . . . . . . 11
6150, 51, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 19810 . . . . . . . . 9
63 reex 9037 . . . . . . . . . . . 12
6463prid1 3872 . . . . . . . . . . 11
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10
6654, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . 11
67 itgparts.da . . . . . . . . . . 11
6866, 67eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10
6954, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . 11
70 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11
7169, 70eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10
7265, 28, 7, 68, 17, 35, 71dvmptmul 19800 . . . . . . . . 9
7335, 28mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11
7473oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10
7574mpteq2dva 4255 . . . . . . . . 9
7662, 72, 753eqtrd 2440 . . . . . . . 8
7758addcn 18848 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld fld
7958mulcn 18850 . . . . . . . . . . 11 fld fld fld
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
81 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . 12
828, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
83 rescncf 18880 . . . . . . . . . . . 12
848, 10, 83mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11
8582, 84syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . 10
8658, 80, 1, 85cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . 9
87 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . 12
888, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
89 rescncf 18880 . . . . . . . . . . . 12
908, 21, 89mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11
9188, 90syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . 10
9258, 80, 91, 29cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . 9
9358, 78, 86, 92cncfmpt2f 18897 . . . . . . . 8
9476, 93eqeltrd 2478 . . . . . . 7
9518, 19, 36, 37ibladd 19665 . . . . . . . 8
9676, 95eqeltrd 2478 . . . . . . 7
9758, 80, 21, 10cncfmpt2f 18897 . . . . . . 7
9850, 51, 52, 94, 96, 97ftc2 19881 . . . . . 6
9949, 98syl5eq 2448 . . . . 5
10076fveq1d 5689 . . . . . . . 8
101100adantr 452 . . . . . . 7
102 simpr 448 . . . . . . . 8
103 ovex 6065 . . . . . . . 8
104 eqid 2404 . . . . . . . . 9
105104fvmpt2 5771 . . . . . . . 8
106102, 103, 105sylancl 644 . . . . . . 7
107101, 106eqtrd 2436 . . . . . 6
108107itgeq2dv 19626 . . . . 5
10950rexrd 9090 . . . . . . . . 9
11051rexrd 9090 . . . . . . . . 9
111 ubicc2 10970 . . . . . . . . 9
112109, 110, 52, 111syl3anc 1184 . . . . . . . 8
113 ovex 6065 . . . . . . . . . 10
114113ax-gen 1552 . . . . . . . . 9
115 csbexg 3221 . . . . . . . . 9
11651, 114, 115sylancl 644 . . . . . . . 8
117 eqid 2404 . . . . . . . . 9
118117fvmpts 5766 . . . . . . . 8
119112, 116, 118syl2anc 643 . . . . . . 7
120 itgparts.f . . . . . . . 8
12151, 120csbied 3253 . . . . . . 7
122119, 121eqtrd 2436 . . . . . 6
123 lbicc2 10969 . . . . . . . . 9
124109, 110, 52, 123syl3anc 1184 . . . . . . . 8
125 csbexg 3221 . . . . . . . . 9
12650, 114, 125sylancl 644 . . . . . . . 8
127117fvmpts 5766 . . . . . . . 8
128124, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . 7
129 itgparts.e . . . . . . . 8
13050, 129csbied 3253 . . . . . . 7
131128, 130eqtrd 2436 . . . . . 6
132122, 131oveq12d 6058 . . . . 5
13399, 108, 1323eqtr3d 2444 . . . 4
13440, 133eqtr3d 2438 . . 3
135134oveq1d 6055 . 2
13639, 135eqtr3d 2438 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1546   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916  csb 3211   wss 3280  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   crn 4838   cres 4839  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945   caddc 8949   cmul 8951  cxr 9075   cle 9077   cmin 9247  cioo 10872  cicc 10875  ctopn 13604  ctg 13620  ℂfldccnfld 16658  cnt 17036   ccn 17242   ctx 17545  ccncf 18859  cibl 19462  citg 19463   cdv 19703 This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  27615 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
 Copyright terms: Public domain W3C validator