Theorem resmptd 5371

Description: Restriction of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmptd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resmptd	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resmptd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		resmpt 5369	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-xp 5044  df-rel 5045  df-res 5050

This theorem is referenced by:  oacomf1olem  7531  cantnfres  8457  rlimres2  14140  lo1res2  14141  o1res2  14142  fsumss  14303  fprodss  14517  conjsubgen  17516  gsumsplit2  18152  gsum2d  18194  dmdprdsplitlem  18259  dprd2dlem1  18263  psrlidm  19224  psrridm  19225  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  mplcoe5  19289  evlsval2  19341  mdetunilem9  20245  cmpfi  21021  ptpjopn  21225  xkoptsub  21267  xkopjcn  21269  cnmpt1res  21289  subgntr  21720  opnsubg  21721  clsnsg  21723  snclseqg  21729  tsmsxplem1  21766  imasdsf1olem  21988  subgnm  22247  mbfss  23219  mbflimsup  23239  mbfmullem2  23297  iblss  23377  limcres  23456  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvcmulf  23514  dvmptres3  23525  dvmptres2  23531  dvmptntr  23540  lhop2  23582  lhop  23583  dvfsumle  23588  dvfsumabs  23590  dvfsumlem2  23594  ftc2ditglem  23612  itgsubstlem  23615  mdegfval  23626  psercn2  23981  psercn  23984  abelth  23999  abelth2  24000  efrlim  24496  jensenlem2  24514  lgamcvg2  24581  pntrsumo1  25054  rabfodom  28728  poimirlem16  32595  poimirlem19  32598  poimirlem30  32609  ftc1anclem8  32662  ftc2nc  32664  areacirclem2  32671  hbtlem6  36718  itgpowd  36819  radcnvrat  37535  disjf1o  38373  cncfmptss  38654  dvmptresicc  38809  dvnprodlem1  38836  iblsplit  38858  itgcoscmulx  38861  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  itgsbtaddcnst  38874  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem28  39028  fourierdlem40  39040  fourierdlem58  39057  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem78  39077  fourierdlem80  39079  fourierdlem81  39080  fourierdlem84  39083  fourierdlem85  39084  fourierdlem90  39089  fourierdlem93  39092  fourierdlem101  39100  fourierdlem111  39110  sge0lessmpt  39292  sge0gerpmpt  39295  sge0resrnlem  39296  sge0ssrempt  39298  sge0ltfirpmpt  39301  sge0iunmptlemre  39308  sge0lefimpt  39316  sge0ltfirpmpt2  39319  sge0pnffigtmpt  39333  ismeannd  39360  omeiunltfirp  39409  caratheodorylem2  39417  sssmfmpt  39637  eucrct2eupth  41413  funcrngcsetc  41790  funcrngcsetcALT  41791  funcringcsetc  41827  fdmdifeqresdif  41913  gsumsplit2f  41936