Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit2 18152
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit2.p + = (+g𝐺)
gsumsplit2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumsplit2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2
StepHypRef Expression
1 gsumsplit2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit2.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumsplit2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumsplit2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsumsplit2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2610 . . . 4 (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋)
86, 7fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
9 gsumsplit2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
10 gsumsplit2.i . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
11 gsumsplit2.u . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11gsumsplit 18151 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))))
13 ssun1 3738 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
1413, 11syl5sseqr 3617 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
1514resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶𝑋))
1615oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
17 ssun2 3739 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1817, 11syl5sseqr 3617 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
1918resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷𝑋))
2019oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋)))
2116, 20oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
2212, 21eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  gsummptfidmsplit  18153  gsumdifsnd  18183  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulgsum  20488  tdeglem4  23624  gsummptres  29115
 Copyright terms: Public domain W3C validator