Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptresicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptresicc 38809
 Description: Derivative of a function restricted to a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptresicc.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
dvmptresicc.a ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptresicc.fdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptresicc.b ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvmptresicc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
dvmptresicc.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dvmptresicc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvmptresicc
StepHypRef Expression
1 dvmptresicc.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
21reseq1i 5313 . . . 4 (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷))
3 dvmptresicc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 dvmptresicc.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
53, 4iccssred 38574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 9872 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7sstrd 3578 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
98resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
102, 9syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
1110oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)))
125resabs1d 5348 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1312eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1413oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))))
15 dvmptresicc.a . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615, 1fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1716, 7fssresd 5984 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
18 ssid 3587 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
20 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120tgioo2 22414 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2220, 21dvres 23481 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
237, 17, 19, 5, 22syl22anc 1319 . . 3 (𝜑 → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
24 reelprrecn 9907 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
26 ssid 3587 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
28 dvmptresicc.fdv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2928dmeqd 5248 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
30 dvmptresicc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ)
32 dmmptg 5549 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3429, 33eqtr2d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D 𝐹))
357, 34sseqtrd 3604 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
36 dvres3 23483 . . . . . 6 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
3725, 16, 27, 35, 36syl22anc 1319 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
38 iccntr 22432 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
393, 4, 38syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4037, 39reseq12d 5318 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
41 ioossre 12106 . . . . 5 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
42 resabs1 5347 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4428reseq1d 5316 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
45 ioosscn 38563 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ
46 resmpt 5369 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4745, 46mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4844, 47eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4940, 43, 483eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
5014, 23, 493eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
5111, 50eqtr3d 2646 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  itgsincmulx  38866
 Copyright terms: Public domain W3C validator