Theorem iccssred 38574

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 12126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  iccshift  38591  eliccelioc  38594  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  icccncfext  38773  cncfiooicclem1  38779  dvmptresicc  38809  itgcoscmulx  38861  ibliooicc  38863  itgsincmulx  38866  itgsubsticclem  38867  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  itgsbtaddcnst  38874  dirkeritg  38995  fourierdlem20  39020  fourierdlem25  39025  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem42  39042  fourierdlem46  39045  fourierdlem50  39049  fourierdlem51  39050  fourierdlem52  39051  fourierdlem54  39053  fourierdlem58  39057  fourierdlem64  39063  fourierdlem68  39067  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem78  39077  fourierdlem79  39078  fourierdlem80  39079  fourierdlem81  39080  fourierdlem84  39083  fourierdlem88  39087  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem100  39099  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  etransclem18  39145  etransclem46  39173  rrxsnicc  39196  hoidmv1lelem1  39481  hoidmv1lelem3  39483  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem4  39488