Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 21289
 Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt1res.6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
21resmptd 5371 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 20542 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
71, 6sseqtrd 3604 . . . 4 (𝜑𝑌 𝐽)
8 eqid 2610 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98cnrest 20899 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 𝐽) → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
1211oveq1i 6559 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿)
1310, 12syl6eleqr 2699 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841 This theorem is referenced by:  symgtgp  21715  subgtgp  21719  cnmptre  22534  evth2  22567  pcoass  22632  efrlim  24496  ipasslem7  27075  cvxpcon  30478  cvmliftlem8  30528
 Copyright terms: Public domain W3C validator