Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2ditglem 23612
 Description: Lemma for ftc2ditg 23613. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
ftc2ditg.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21ditgpos 23426 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 iccssre 12126 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
63, 4, 5syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
86, 7sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
116, 10sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 9872 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ℝ ⊆ ℂ)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
16 cncff 22504 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
196adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
20 iccssre 12126 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 11, 20syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22414 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2523, 24dvres 23481 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ) ∧ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 1319 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
27 iccntr 22432 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
288, 11, 27syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3029reseq2d 5317 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
3126, 30eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
323rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
343, 4, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
357, 34mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
3635simp2d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
37 iooss1 12081 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
3832, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
394rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
40 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
413, 4, 40syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
4210, 41mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
4342simp3d 1068 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
44 iooss2 12082 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4539, 43, 44syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4638, 45sstrd 3578 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
50 rescncf 22508 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
5147, 49, 50sylc 63 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
5231, 51eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
53 cncff 22504 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5554feqmptd 6159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5756reseq1d 5316 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
5847resmptd 5371 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5957, 58eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
6031, 59eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
61 ioombl 23140 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
63 fvex 6113 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V
6463a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
65 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6756, 66eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6847, 62, 64, 67iblss 23377 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6960, 68eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
70 iccss2 12115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
717, 10, 70syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
72 rescncf 22508 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
7371, 15, 72sylc 63 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7473adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
759, 12, 1, 52, 69, 74ftc2 23611 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
7631fveq1d 6105 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
77 fvres 6117 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7876, 77sylan9eq 2664 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7978itgeq2dv 23354 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
809rexrd 9968 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8112rexrd 9968 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
82 ubicc2 12160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83 lbicc2 12159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84 fvres 6117 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
85 fvres 6117 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
8684, 85oveqan12d 6568 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8782, 83, 86syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8880, 81, 1, 87syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8975, 79, 883eqtr3d 2652 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
902, 89eqtrd 2644 1 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193  ⨜cdit 23416   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-ditg 23417  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  ftc2ditg  23613
 Copyright terms: Public domain W3C validator