MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfss 23219
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (𝜑𝐴𝐵)
mbfss.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
mbfss.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3715 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
2 undif2 3996 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
4 ssequn1 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
53, 4sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
62, 5syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
76eleq2d 2673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
81, 7syl5bbr 273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
98biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 23210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
14 0cn 9911 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1513, 14syl6eqel 2696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1612, 15jaodan 822 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1817recld 13782 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶))
2018, 19fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
213resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
2212ismbfcn2 23212 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
2310, 22mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
2423simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
2521, 24eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
26 difss 3699 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
27 resmpt 5369 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
2913fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
30 re0 13740 . . . . . . 7 (ℜ‘0) = 0
3129, 30syl6eq 2660 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
3231mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
3328, 32syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
34 fconstmpt 5085 . . . . 5 ((𝐵𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)
35 mbfss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3610, 11mbfdm2 23211 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
37 difmbl 23118 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 mbfconst 23208 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4038, 14, 39sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4134, 40syl5eqelr 2693 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4233, 41eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
4320, 25, 42, 6mbfres2 23218 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4417imcld 13783 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
45 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶))
4644, 45fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
473resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
4823simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4947, 48eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
50 resmpt 5369 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
5126, 50ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
5213fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
53 im0 13741 . . . . . . 7 (ℑ‘0) = 0
5452, 53syl6eq 2660 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
5554mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5651, 55syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5756, 41eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
5846, 49, 57, 6mbfres2 23218 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
5917ismbfcn2 23212 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
6043, 58, 59mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cdif 3537  cun 3538  wss 3540  {csn 4125  cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  cres 5040  cfv 5804  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  cre 13685  cim 13686  volcvol 23039  MblFncmbf 23189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  23296  itg2cnlem1  23334  iblss2  23378  ibladdlem  23392  itgaddlem1  23395  iblabslem  23400  itggt0  23414  itgcn  23415  ibladdnclem  32636  itgaddnclem1  32638  iblabsnclem  32643  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem8  32662
  Copyright terms: Public domain W3C validator