Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlidm 19224
 Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrlidm (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
9 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
10 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 19223 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
12 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 19209 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 19200 . . 3 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 5959 . 2 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 12psrelbas 19200 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 5959 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2610 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1911adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
2012adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
21 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 19207 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
23 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
243fczpsrbag 19188 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
257, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
2623, 25syl5eqel 2692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
283psrbagf 19186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
297, 28sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
3029ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
3130nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝑦𝑥))
3231ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥))
33 0nn0 11184 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
3433fconst6 6008 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
35 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3729ffnd 5959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
387adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
39 inidm 3784 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝐼) = 𝐼
4033a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
41 fvconst2g 6372 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℕ0𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
4240, 41sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
43 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
4436, 37, 38, 38, 39, 42, 43ofrfval 6803 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦 ↔ ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥)))
4532, 44mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦)
46 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐼 × {0}) → (𝑔𝑟𝑦 ↔ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4746elrab 3331 . . . . . . . 8 ((𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4827, 45, 47sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
4948snssd 4281 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
5049resmptd 5371 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
5150oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
52 ringcmn 18404 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
5453adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
55 ovex 6577 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
563, 55rab2ex 4743 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V)
586ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
59 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
60 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔𝑟𝑦𝑧𝑟𝑦))
6160elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6259, 61sylib 207 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6362simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝐷)
641, 2, 3, 4, 19psrelbas 19200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6564ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6663, 65syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6716ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
687ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝐼𝑉)
6921adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦𝐷)
703psrbagf 19186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7168, 63, 70syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7262simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝑟𝑦)
733psrbagcon 19192 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧𝑟𝑦)) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7468, 69, 71, 72, 73syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7574simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
7667, 75ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
772, 18ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
7858, 66, 76, 77syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
79 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
8078, 79fmptd 6292 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}⟶(Base‘𝑅))
81 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
8281, 62sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
8382simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑧𝐷)
84 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0})))
8584ifbid 4058 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
86 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑅) ∈ V
879, 86eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
88 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
898, 88eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
9087, 89ifex 4106 . . . . . . . . . . 11 if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
9185, 10, 90fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐷 → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
93 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
9493adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
95 velsn 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9694, 95sylnib 317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9796iffalsed 4047 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
9892, 97eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = 0 )
9998oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
1006ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑅 ∈ Ring)
10181, 76sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
1022, 18, 8ringlz 18410 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
103100, 101, 102syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
10499, 103eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
105104, 57suppss2 7216 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})
1063, 55rabex2 4742 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
107106mptrabex 6392 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
109 funmpt 5840 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
110109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
11189a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
112 snfi 7923 . . . . . . 7 {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
113112a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
114 suppssfifsupp 8173 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
115108, 110, 111, 113, 105, 114syl32anc 1326 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
1162, 8, 54, 57, 80, 105, 115gsumres 18137 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
1176adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
118 ringmnd 18379 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
119117, 118syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
120 iftrue 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
121120, 10, 87fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
12227, 121syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
123 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
124123subid1d 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 − 0) = 𝑧)
125124adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
12638, 29, 40, 125caofid0r 6824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})) = 𝑦)
127126fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))) = (𝑋𝑦))
128122, 127oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)))
12916ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1302, 18, 9ringlidm 18394 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
131117, 129, 130syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
132128, 131eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = (𝑋𝑦))
133132, 129eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅))
134 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑈𝑧) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
135 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑦𝑓𝑧) = (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))
136135fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) = (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))))
137134, 136oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
1382, 137gsumsn 18177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
139119, 27, 133, 138syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14051, 116, 1393eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14122, 140, 1323eqtrd 2648 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
14215, 17, 141eqfnfvd 6222 1 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016  1rcur 18324  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrring  19232  psr1  19233
 Copyright terms: Public domain W3C validator