Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercn2 23981
 Description: Since by pserulm 23980 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 23957. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (𝜑𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
psercn2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem psercn2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11598 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11266 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 pserulm.y . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
4 cnvimass 5404 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
5 absf 13925 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
65fdmi 5965 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
74, 6sseqtri 3600 . . . . . . 7 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
83, 7syl6ss 3580 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
109resmptd 5371 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
11 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12 elfznn0 12302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
1514pserval2 23969 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))
1611, 13, 15syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐺𝑦)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1817, 1syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
20 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2322adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
24 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
2524adantll 746 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
2623, 25mulcld 9939 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
2712, 26sylan2 490 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
2816, 19, 27fsumser 14308 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
2928mpteq2dva 4672 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
30 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3130cnfldtopon 22396 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
33 fzfid 12634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (0...𝑖) ∈ Fin)
3431a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
35 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3621, 12, 35syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3734, 34, 36cnmptc 21275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3812adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3930expcn 22483 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4130mulcn 22478 . . . . . . . . . 10 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4334, 37, 40, 42cnmpt12f 21279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4430, 32, 33, 43fsumcn 22481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4530cncfcn1 22521 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4644, 45syl6eleqr 2699 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4729, 46eqeltrrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48 rescncf 22508 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) ∈ (𝑆cn→ℂ)))
499, 47, 48sylc 63 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ↾ 𝑆) ∈ (𝑆cn→ℂ))
5010, 49eqeltrrd 2689 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (𝑆cn→ℂ))
51 pserulm.h . . 3 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
5250, 51fmptd 6292 . 2 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(𝑆cn→ℂ))
53 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
54 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
55 pserulm.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
56 pserulm.l . . 3 (𝜑𝑀 < 𝑅)
5714, 53, 20, 54, 51, 55, 56, 3pserulm 23980 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
581, 2, 52, 57ulmcn 23957 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ulm 23935 This theorem is referenced by:  psercn  23984
 Copyright terms: Public domain W3C validator