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Theorem ismeannd 39360
 Description: Sufficient condition to prove that 𝑀 is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
ismeannd.mf (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
ismeannd.m0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
ismeannd.iun ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
ismeannd (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑛   𝜑,𝑒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2 fdm 5964 . . . . . . 7 (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑆)
43feq2d 5944 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)))
51, 4mpbird 246 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
6 ismeannd.sal . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
73, 6eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
85, 7jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
9 ismeannd.m0 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10 unieq 4380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
11 uni0 4401 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
1310, 12eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑀 𝑥) = (𝑀‘∅))
1514, 9sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = 0)
16 reseq2 5312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀 ↾ ∅))
17 res0 5321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ↾ ∅) = ∅
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ ∅) = ∅)
1916, 18eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
2019fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
22 sge00 39269 . . . . . . . . . . 11 ^‘∅) = 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘∅) = 0)
2421, 23eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = 0)
2515, 24eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2625adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2726adantlr 747 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
28 simpll 786 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀))
29 simplrr 797 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
3028, 29jca 553 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
31 simplrl 796 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≼ ω)
32 neqne 2790 . . . . . . . . 9 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
34 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3534cbvdisjv 4564 . . . . . . . . . . 11 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3635biimpi 205 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3736adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3837ad2antlr 759 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3931, 33, 38nnfoctbdj 39349 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
40 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
41 simprl 790 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
42 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
43 founiiun0 38372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑥 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
4443fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4544ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 simplll 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
47 fof 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
49 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀𝑥 ⊆ dom 𝑀)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ dom 𝑀)
513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → dom 𝑀 = 𝑆)
5250, 51sseqtrd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥𝑆)
53 0sal 39216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑆)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
55 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {∅} ⊆ 𝑆)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → {∅} ⊆ 𝑆)
5852, 57unssd 3751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
6048, 59fssd 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
63 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6446, 61, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6564adantllr 751 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
661feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
6766reseq1d 5316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
7052resmptd 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
72 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∅ ∈ 𝑥 → {∅} ⊆ 𝑥)
73 ssequn2 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({∅} ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7472, 73sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7574eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑥𝑥 = (𝑥 ∪ {∅}))
7675mpteq1d 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7869, 71, 773eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7978fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
80 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
81 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
82 p0ex 4779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {∅} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → {∅} ∈ V)
84 disjsn 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
8584biimpri 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
871ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
8852sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑆)
8987, 88ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9089adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
91 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
9291fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {∅} → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
941, 54ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9693, 95eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9796ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9880, 81, 83, 86, 90, 97sge0splitmpt 39304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))))
99 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = ∅ → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
1019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
102100, 101eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
10391, 102sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = 0)
104103mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ {∅} ↦ 0))
105104fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)))
106 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝜑
10782a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {∅} ∈ V)
108106, 107sge0z 39268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)) = 0)
109105, 108eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = 0)
110109oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
111110ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
112 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
11368, 70eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
1141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
115114, 52fssresd 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
116113, 115feq1dd 38341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)):𝑥⟶(0[,]+∞))
117112, 116sge0xrcl 39278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) ∈ ℝ*)
118117xaddid1d 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
119113fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
120119eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
121118, 120eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
12398, 111, 1223eqtrrd 2649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
12479, 123pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
125124ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
126 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
127 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
128 nfdisj1 4566 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)
129127, 128nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
130 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑒𝑛) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒𝑛)))
131 nnex 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ∈ V
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ℕ ∈ V)
133 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
134 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑛))
1351ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
13658sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑦𝑆)
137135, 136ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
138137ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
13946, 102sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
140126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139sge0fodjrn 39310 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
141125, 140eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
142141adantllr 751 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14345, 65, 1423eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14440, 41, 42, 143syl21anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
145144ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
146145exlimdv 1848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
14730, 39, 146sylc 63 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14827, 147pm2.61dan 828 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
149148ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
150149ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
1518, 9, 150jca31 555 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
152 ismea 39344 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
153151, 152sylibr 223 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℕcn 10897   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  SAlgcsalg 39204  Σ^csumge0 39255  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by:  volmea  39367  caratheodory  39418
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