Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ismeannd.mf |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)) |
2 | | fdm 5964 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝑆) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑆) |
4 | 3 | feq2d 5944 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))) |
5 | 1, 4 | mpbird 246 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞)) |
6 | | ismeannd.sal |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg) |
7 | 3, 6 | eqeltrd 2688 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg) |
8 | 5, 7 | jca 553 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg)) |
9 | | ismeannd.m0 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0) |
10 | | unieq 4380 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 =
∪ ∅) |
11 | | uni0 4401 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∪ ∅ = ∅ |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ ∅ = ∅) |
13 | 10, 12 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 =
∅) |
14 | 13 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(𝑀‘∅)) |
15 | 14, 9 | sylan9eqr 2666 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∪ 𝑥) = 0) |
16 | | reseq2 5312 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ 𝑥) = (𝑀 ↾ ∅)) |
17 | | res0 5321 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ↾ ∅) =
∅ |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ ∅) =
∅) |
19 | 16, 18 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ 𝑥) = ∅) |
20 | 19 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = ∅ →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘∅)) |
21 | 20 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘∅)) |
22 | | sge00 39269 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Σ^‘∅) = 0 |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) →
(Σ^‘∅) = 0) |
24 | 21, 23 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) = 0) |
25 | 15, 24 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
26 | 25 | adantlr 747 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
27 | 26 | adantlr 747 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
28 | | simpll 786 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)) |
29 | | simplrr 797 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) |
30 | 28, 29 | jca 553 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) |
31 | | simplrl 796 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≼ ω) |
32 | | neqne 2790 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅) |
33 | 32 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅) |
34 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤) |
35 | 34 | cbvdisjv 4564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Disj 𝑦
∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑤 ∈ 𝑥 𝑤) |
36 | 35 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(Disj 𝑦
∈ 𝑥 𝑦 → Disj 𝑤 ∈ 𝑥 𝑤) |
37 | 36 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧
Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Disj 𝑤 ∈ 𝑥 𝑤) |
38 | 37 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑤 ∈ 𝑥 𝑤) |
39 | 31, 33, 38 | nnfoctbdj 39349 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) |
40 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) |
41 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) |
42 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) |
43 | | founiiun0 38372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → ∪ 𝑥 =
∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) |
44 | 43 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) |
45 | 44 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) |
46 | | simplll 794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑) |
47 | | fof 6028 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅})) |
48 | 47 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅})) |
49 | | elpwi 4117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀 → 𝑥 ⊆ dom 𝑀) |
50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ dom 𝑀) |
51 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → dom 𝑀 = 𝑆) |
52 | 50, 51 | sseqtrd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ 𝑆) |
53 | | 0sal 39216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑆 ∈ SAlg → ∅
∈ 𝑆) |
54 | 6, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆) |
55 | | snssi 4280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∅
∈ 𝑆 → {∅}
⊆ 𝑆) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ 𝑆) |
57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → {∅} ⊆ 𝑆) |
58 | 52, 57 | unssd 3751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆) |
59 | 58 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆) |
60 | 48, 59 | fssd 5970 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶𝑆) |
61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆) |
62 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) |
63 | | ismeannd.iun |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛))))) |
64 | 46, 61, 62, 63 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛))))) |
65 | 64 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛))))) |
66 | 1 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦))) |
67 | 66 | reseq1d 5316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)) ↾ 𝑥)) |
68 | 67 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀 ↾ 𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)) ↾ 𝑥)) |
69 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀 ↾ 𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)) ↾ 𝑥)) |
70 | 52 | resmptd 5371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) |
71 | 70 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) |
72 | | snssi 4280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (∅
∈ 𝑥 → {∅}
⊆ 𝑥) |
73 | | ssequn2 3748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
({∅} ⊆ 𝑥
↔ (𝑥 ∪ {∅})
= 𝑥) |
74 | 72, 73 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∅
∈ 𝑥 → (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥) |
75 | 74 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∅
∈ 𝑥 → 𝑥 = (𝑥 ∪ {∅})) |
76 | 75 | mpteq1d 4666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (∅
∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦))) |
77 | 76 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦))) |
78 | 69, 71, 77 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀 ↾ 𝑥) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦))) |
79 | 78 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
80 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) |
81 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) |
82 | | p0ex 4779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ {∅}
∈ V |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → {∅} ∈
V) |
84 | | disjsn 4192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∩ {∅}) = ∅
↔ ¬ ∅ ∈ 𝑥) |
85 | 84 | biimpri 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬
∅ ∈ 𝑥 →
(𝑥 ∩ {∅}) =
∅) |
86 | 85 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅) |
87 | 1 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)) |
88 | 52 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑆) |
89 | 87, 88 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
90 | 89 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
91 | | elsni 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅) |
92 | 91 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘∅)) |
93 | 92 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘∅)) |
94 | 1, 54 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) ∈
(0[,]+∞)) |
95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘∅) ∈
(0[,]+∞)) |
96 | 93, 95 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
97 | 96 | ad4ant14 1285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
98 | 80, 81, 83, 86, 90, 97 | sge0splitmpt 39304 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) →
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦))) =
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦))))) |
99 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘∅)) |
100 | 99 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘∅)) |
101 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0) |
102 | 100, 101 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀‘𝑦) = 0) |
103 | 91, 102 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑦) = 0) |
104 | 103 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦)) = (𝑦 ∈ {∅} ↦
0)) |
105 | 104 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦))) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦
0))) |
106 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑦𝜑 |
107 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → {∅} ∈
V) |
108 | 106, 107 | sge0z 39268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)) =
0) |
109 | 105, 108 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦))) = 0) |
110 | 109 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦)))) =
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒
0)) |
111 | 110 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) →
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒
(Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀‘𝑦)))) =
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒
0)) |
112 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) |
113 | 68, 70 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀 ↾ 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) |
114 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)) |
115 | 114, 52 | fssresd 5984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞)) |
116 | 113, 115 | feq1dd 38341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦)):𝑥⟶(0[,]+∞)) |
117 | 112, 116 | sge0xrcl 39278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
(Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) ∈
ℝ*) |
118 | 117 | xaddid1d 11948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒 0) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
119 | 113 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
120 | 119 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
(Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
121 | 118, 120 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒 0) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
122 | 121 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) →
((Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑀‘𝑦))) +𝑒 0) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
123 | 98, 111, 122 | 3eqtrrd 2649 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
124 | 79, 123 | pm2.61dan 828 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
125 | 124 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) →
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)) =
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦)))) |
126 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) |
127 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) |
128 | | nfdisj1 4566 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑛Disj
𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) |
129 | 127, 128 | nfan 1816 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑛(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) |
130 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (𝑒‘𝑛) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒‘𝑛))) |
131 | | nnex 10903 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ℕ
∈ V |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ℕ ∈ V) |
133 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) |
134 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑛)) |
135 | 1 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)) |
136 | 58 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑦 ∈ 𝑆) |
137 | 135, 136 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
138 | 137 | ad4ant14 1285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) |
139 | 46, 102 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀‘𝑦) = 0) |
140 | 126, 129,
130, 132, 133, 62, 134, 138, 139 | sge0fodjrn 39310 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) →
(Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀‘𝑦))) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛))))) |
141 | 125, 140 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛)))) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
142 | 141 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒‘𝑛)))) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
143 | 45, 65, 142 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
144 | 40, 41, 42, 143 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
145 | 144 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))) |
146 | 145 | exlimdv 1848 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))) |
147 | 30, 39, 146 | sylc 63 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
148 | 27, 147 | pm2.61dan 828 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))) |
149 | 148 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))) |
150 | 149 | ralrimiva 2949 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))) |
151 | 8, 9, 150 | jca31 555 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧
∀𝑥 ∈ 𝒫
dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))))) |
152 | | ismea 39344 |
. 2
⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧
∀𝑥 ∈ 𝒫
dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) =
(Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥))))) |
153 | 151, 152 | sylibr 223 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas) |