Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgcoscmulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcoscmulx 38861
 Description: Exercise: the integral of 𝑥 ↦ cos𝑎𝑥 on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
itgcoscmulx.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgcoscmulx.blec (𝜑𝐵𝐶)
itgcoscmulx.an0 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2iccssred 38574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
43resmptd 5371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
54eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶)))
65oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))))
7 ax-resscn 9872 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
98sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
1413sincld 14699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 11, 16divcld 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
189, 17syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) ∈ ℂ)
19 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))
2018, 19fmptd 6292 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ)
21 ssid 3587 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
23 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22414 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2523, 24dvres 23481 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
268, 20, 22, 3, 25syl22anc 1319 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ↾ (𝐵[,]𝐶))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))))
27 reelprrecn 9907 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
299, 14syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130, 9mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
3231coscld 14700 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
3330, 32mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
348resmptd 5371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
3534eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ))
3635oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)))
37 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
3814, 37fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
39 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
41 dvsinax 38801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4342dmeqd 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
4413coscld 14700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
4511, 44mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
4645ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ)
47 dmmptg 5549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ ℂ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
4943, 48eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
507, 49syl5sseq 3616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
51 dvres3 23483 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
5228, 38, 40, 50, 51syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
5342reseq1d 5316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ))
548resmptd 5371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5552, 53, 543eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5636, 55eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
5728, 29, 33, 56, 10, 15dvmptdivc 23534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
58 iccntr 22432 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
591, 2, 58syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶)) = (𝐵(,)𝐶))
6057, 59reseq12d 5318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
61 ioossre 12106 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
62 resmpt 5369 . . . . . . . . 9 ((𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)))
64 elioore 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
6564recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝑦 ∈ ℂ)
6665, 44sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
6710adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6815adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ≠ 0)
6966, 67, 68divcan3d 10685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴) = (cos‘(𝐴 · 𝑦)))
7069mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ ((𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
7160, 63, 703eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵[,]𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
726, 26, 713eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
7372adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) = (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))))
74 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
7574fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
7675adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
77 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7810adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7961, 8syl5ss 3579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℂ)
8079sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8178, 80mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
8281coscld 14700 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
8373, 76, 77, 82fvmptd 6197 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
8483eqcomd 2616 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑥)) = ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥))
8584itgeq2dv 23354 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥)
86 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))
87 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
8887fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐶)))
8988oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
9089adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐶) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
911rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
922rexrd 9968 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93 itgcoscmulx.blec . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
94 ubicc2 12160 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵[,]𝐶))
962recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9710, 96mulcld 9939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
9897sincld 14699 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9998, 10, 15divcld 10680 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) ∈ ℂ)
10086, 90, 95, 99fvmptd 6197 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) = ((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴))
101 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
102101fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝐵)))
103102oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
104103adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
105 lbicc2 12159 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
10691, 92, 93, 105syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
1071recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10810, 107mulcld 9939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
109108sincld 14699 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
110109, 10, 15divcld 10680 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴) ∈ ℂ)
11186, 104, 106, 110fvmptd 6197 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵) = ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴))
112100, 111oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
113 coscn 24003 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
114113a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11579, 10, 40constcncfg 38756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11679, 40idcncfg 38757 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
117115, 116mulcncf 23023 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
118114, 117cncfmpt1f 22524 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
11972, 118eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ ((𝐵(,)𝐶)–cn→ℂ))
120 ioossicc 12130 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
121120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,]𝐶))
122 ioombl 23140 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
123122a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
12410adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1253, 7syl6ss 3580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
126125sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ∈ ℂ)
127124, 126mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
128127coscld 14700 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
129125, 10, 40constcncfg 38756 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
130125, 40idcncfg 38757 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
131129, 130mulcncf 23023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
132114, 131cncfmpt1f 22524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
133 cniccibl 23413 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
1341, 2, 132, 133syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
135121, 123, 128, 134iblss 23377 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ 𝐿1)
13672, 135eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))) ∈ 𝐿1)
137 sincn 24002 . . . . . . 7 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
138137a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
139138, 131cncfmpt1f 22524 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
140 neneq 2788 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴 = 0)
141 elsni 4142 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
142141con3i 149 . . . . . . . 8 𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14315, 140, 1423syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
14410, 143eldifd 3551 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
145 difssd 3700 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
146125, 144, 145constcncfg 38756 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→(ℂ ∖ {0})))
147139, 146divcncf 38769 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)) ∈ ((𝐵[,]𝐶)–cn→ℂ))
1481, 2, 93, 119, 136, 147ftc2 23611 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐶) − ((𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴))‘𝐵)))
14998, 109, 10, 15divsubdird 10719 . . 3 (𝜑 → (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴) = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) / 𝐴) − ((sin‘(𝐴 · 𝐵)) / 𝐴)))
150112, 148, 1493eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ ((sin‘(𝐴 · 𝑦)) / 𝐴)))‘𝑥) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
15185, 150eqtrd 2644 1 (𝜑 → ∫(𝐵(,)𝐶)(cos‘(𝐴 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝐴 · 𝐶)) − (sin‘(𝐴 · 𝐵))) / 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  sincsin 14633  cosccos 14634  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  sqwvfoura  39121
 Copyright terms: Public domain W3C validator