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Theorem itgcoscmulx 37943
Description: Exercise: the integral of  x  |->  cos a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcoscmulx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
itgcoscmulx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgcoscmulx.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgcoscmulx.blec  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
itgcoscmulx.an0  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
itgcoscmulx  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( cos `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( sin `  ( A  x.  C ) )  -  ( sin `  ( A  x.  B )
) )  /  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x

Proof of Theorem itgcoscmulx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcoscmulx.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 itgcoscmulx.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
31, 2iccssred 37698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
43resmptd 5162 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  |`  ( B [,] C ) )  =  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) )
54eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  |`  ( B [,] C ) ) )
65oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  |`  ( B [,] C ) ) ) )
7 ax-resscn 9614 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
98sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
10 itgcoscmulx.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
12 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
1311, 12mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
1413sincld 14261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
15 itgcoscmulx.an0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1615adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
1714, 11, 16divcld 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
189, 17syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
19 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )
2018, 19fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) : RR --> CC )
21 ssid 3437 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
23 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423tgioo2 21899 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
2523, 24dvres 22945 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( B [,] C )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  |`  ( B [,] C
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) ) ) )
268, 20, 22, 3, 25syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  |`  ( B [,] C ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) ) ) )
27 reelprrecn 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
299, 14syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
3010adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
3130, 9mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
3231coscld 14262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
3330, 32mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
348resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )
3534eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  |`  RR )
)
3635oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  |`  RR )
) )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
3814, 37fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) : CC --> CC )
39 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
41 dvsinax 37880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) ) )
4342dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
4413coscld 14262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
4511, 44mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
4645ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. y  e.  CC  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  e.  CC )
47 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  CC  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  CC )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  CC )
4943, 48eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  CC  =  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) ) )
507, 49syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) ) )
51 dvres3 22947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) ) )  |`  RR ) )
5228, 38, 40, 50, 51syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) ) )  |`  RR ) )
5342reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  |`  RR ) )
548resmptd 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
5552, 53, 543eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  |`  RR )
)  =  ( y  e.  RR  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) ) )
5636, 55eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) ) )
5728, 29, 33, 56, 10, 15dvmptdivc 22998 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  /  A ) ) )
58 iccntr 21917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) )  =  ( B (,) C
) )
591, 2, 58syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) )  =  ( B (,) C
) )
6057, 59reseq12d 5112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  /  A ) )  |`  ( B (,) C ) ) )
61 ioossre 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) C )  C_  RR
62 resmpt 5160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B (,) C ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  /  A ) )  |`  ( B (,) C
) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  /  A ) ) )
6361, 62mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) ) )
64 elioore 11691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( B (,) C )  ->  y  e.  RR )
6564recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( B (,) C )  ->  y  e.  CC )
6665, 44sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
6710adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
6815adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  =/=  0 )
6966, 67, 68divcan3d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  /  A )  =  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )
7069mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) )
7160, 63, 703eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B [,] C ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )
726, 26, 713eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )
7372adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )
74 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
7574fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  x )
) )
7675adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,) C
) )  /\  y  =  x )  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  x )
) )
77 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
7810adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
7961, 8syl5ss 3429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  CC )
8079sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  CC )
8178, 80mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  CC )
8281coscld 14262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( cos `  ( A  x.  x
) )  e.  CC )
8373, 76, 77, 82fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) ) `  x )  =  ( cos `  ( A  x.  x ) ) )
8483eqcomd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( cos `  ( A  x.  x
) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
) )
8584itgeq2dv 22818 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( cos `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
)  _d x )
86 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  =  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) )
87 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  C ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  C )
) )
8988oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( ( sin `  ( A  x.  C
) )  /  A
) )
9089adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  C )  ->  (
( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( ( sin `  ( A  x.  C
) )  /  A
) )
911rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
922rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
93 itgcoscmulx.blec . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
94 ubicc2 11775 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  C  e.  ( B [,] C
) )
9591, 92, 93, 94syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B [,] C ) )
962recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9710, 96mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
9897sincld 14261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
9998, 10, 15divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  x.  C )
)  /  A )  e.  CC )
10086, 90, 95, 99fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  C
)  =  ( ( sin `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
101 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  B ) )
102101fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  B )
) )
103102oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( ( sin `  ( A  x.  B
) )  /  A
) )
104103adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( ( sin `  ( A  x.  B
) )  /  A
) )
105 lbicc2 11774 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
10691, 92, 93, 105syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
1071recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
10810, 107mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
109108sincld 14261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
110109, 10, 15divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  x.  B )
)  /  A )  e.  CC )
11186, 104, 106, 110fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
)  =  ( ( sin `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
112100, 111oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
) )  =  ( ( ( sin `  ( A  x.  C )
)  /  A )  -  ( ( sin `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
113 coscn 23479 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
114113a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11579, 10, 40constcncfg 37845 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  A )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
11679, 40idcncfg 37846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  y )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
117115, 116mulcncf 22476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
118114, 117cncfmpt1f 22023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
11972, 118eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
120 ioossicc 11745 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,] C )
121120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B [,] C ) )
122 ioombl 22597 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
123122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
12410adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  A  e.  CC )
1253, 7syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  CC )
126125sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  CC )
127124, 126mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
128127coscld 14262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
129125, 10, 40constcncfg 37845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
130125, 40idcncfg 37846 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  y )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
131129, 130mulcncf 22476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
132114, 131cncfmpt1f 22023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
133 cniccibl 22877 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
1341, 2, 132, 133syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
135121, 123, 128, 134iblss 22841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
13672, 135eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  L^1 )
137 sincn 23478 . . . . . . 7  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
138137a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
139138, 131cncfmpt1f 22023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
140 neneq 2649 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  A  =  0 )
141 elsni 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { 0 }  ->  A  =  0 )
142141con3i 142 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  0  ->  -.  A  e.  { 0 } )
14315, 140, 1423syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
14410, 143eldifd 3401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
145 difssd 3550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
146125, 144, 145constcncfg 37845 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
147139, 146divcncf 37858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )
1481, 2, 93, 119, 136, 147ftc2 23075 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  C
)  -  ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) `  B ) ) )
14998, 109, 10, 15divsubdird 10444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( A  x.  C
) )  -  ( sin `  ( A  x.  B ) ) )  /  A )  =  ( ( ( sin `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  -  ( ( sin `  ( A  x.  B ) )  /  A ) ) )
150112, 148, 1493eqtr4d 2515 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( sin `  ( A  x.  C )
)  -  ( sin `  ( A  x.  B
) ) )  /  A ) )
15185, 150eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( cos `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( sin `  ( A  x.  C ) )  -  ( sin `  ( A  x.  B )
) )  /  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   sincsin 14193   cosccos 14194   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
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