Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsinax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsinax 38801
 Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 14693 . . . . . 6 sin:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
3 mulcl 9899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))
53, 4fmptd 6292 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ)
6 fcompt 6306 . . . . 5 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
72, 5, 6syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
8 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
9 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
109adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
11 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ ℂ)
12 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ)
138, 10, 11, 12fvmptd 6197 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
1413fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑤)))
1514mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))))
16 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
1716fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
1817cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
1918a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
207, 15, 193eqtrrd 2649 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
2120oveq2d 6565 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
22 cnelprrecn 9908 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2322a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
24 dvsin 23549 . . . . . 6 (ℂ D sin) = cos
2524dmeqi 5247 . . . . 5 dom (ℂ D sin) = dom cos
26 cosf 14694 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2726fdmi 5965 . . . . 5 dom cos = ℂ
2825, 27eqtri 2632 . . . 4 dom (ℂ D sin) = ℂ
2928a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D sin) = ℂ)
30 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3130cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
3231oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)))
34 cnex 9896 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
36 snex 4835 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
38 xpexg 6858 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
3935, 37, 38syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
4034mptex 6390 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V)
42 offval3 7053 . . . . . . . . 9 (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
4339, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
44 fconst6g 6007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
45 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
4947, 48fmpti 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤):ℂ⟶ℂ
5049fdmi 5965 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ)
5246, 51ineq12d 3777 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (ℂ ∩ ℂ))
53 inidm 3784 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∩ ℂ) = ℂ)
5552, 54eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = ℂ)
5655mpteq1d 4666 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
57 fvconst2g 6372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑦) = 𝐴)
58 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 = 𝑦)
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
6158, 59, 60, 60fvmptd 6197 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
6357, 62oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦)) = (𝐴 · 𝑦))
6463mpteq2dva 4672 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
6556, 64eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
6633, 43, 653eqtrrd 2649 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)))
6766oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
68 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)
6968, 60fmpti 6291 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ)
71 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7222a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
7372dvmptid 23526 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
7473trud 1484 . . . . . . . . . 10 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
7574dmeqi 5247 . . . . . . . . 9 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
76 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
7776rgenw 2908 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ
78 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
7978fmpt 6289 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ ↔ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ)
8077, 79mpbi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ
8180fdmi 5965 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = ℂ
8275, 81eqtri 2632 . . . . . . . 8 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ
8382a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ)
8423, 70, 71, 83dvcmulf 23514 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
8567, 84eqtrd 2644 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
8685dmeqd 5248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
87 ovex 6577 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V)
89 offval3 7053 . . . . . 6 (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
9039, 88, 89syl2anc 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
9190dmeqd 5248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
9246, 83ineq12d 3777 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (ℂ ∩ ℂ))
9392, 54eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ℂ)
9493mpteq1d 4666 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
9594dmeqd 5248 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
96 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)))
97 fvconst2g 6372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑤) = 𝐴)
9874fveq1i 6104 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤)
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤))
100 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
101 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 𝑤) → 1 = 1)
10276a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
103100, 101, 48, 102fvmptd 6197 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤) = 1)
10499, 103eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
105104adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
10697, 105oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) = (𝐴 · 1))
107 mulcl 9899 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
10876, 107mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
110106, 109eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) ∈ ℂ)
11196, 110dmmptd 5937 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
11295, 111eqtrd 2644 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
11386, 91, 1123eqtrd 2648 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
11423, 23, 2, 5, 29, 113dvcof 23517 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
11524a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) = cos)
116 coscn 24003 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117116a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118115, 117eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11934mptex 6390 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V
120119a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
121 coexg 7010 . . . . 5 (((ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
122118, 120, 121syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
123 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
124 0cnd 9912 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
12523, 71dvmptc 23527 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
126 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
12776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
12874a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
12923, 123, 124, 125, 126, 127, 128dvmptmul 23530 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))))
130126mul02d 10113 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · 𝑦) = 0)
131123mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
132130, 131oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
133123addid2d 10116 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
134132, 133eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
135134mpteq2dva 4672 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
136129, 135eqtrd 2644 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
13734mptex 6390 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ V
138137a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ V)
139136, 138eqeltrd 2688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
140 offval3 7053 . . . 4 ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
141122, 139, 140syl2anc 691 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
142 frn 5966 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
1435, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
144143, 29sseqtr4d 3605 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin))
145 dmcosseq 5308 . . . . . . . 8 (ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin) → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
146144, 145syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
147 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
148147, 4dmmpti 5936 . . . . . . . 8 dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ
149148a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ)
150146, 149eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
151150, 113ineq12d 3777 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ ∩ ℂ))
152151, 54eqtrd 2644 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
153152mpteq1d 4666 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
15412coscld 14700 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑤)) ∈ ℂ)
155 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
156154, 155mulcomd 9940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
157156mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
15824coeq1i 5203 . . . . . . . . 9 ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
159158a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
160159fveq1d 6105 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))
161 ffun 5961 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
1625, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
163162adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
16411, 148syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
165 fvco 6184 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
166163, 164, 165syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
16713fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
168160, 166, 1673eqtrd 2648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
169136adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
170 eqidd 2611 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝐴 = 𝐴)
171169, 170, 11, 155fvmptd 6197 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = 𝐴)
172168, 171oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤)) = ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴))
173172mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)))
1749fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
175174oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
176175cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
177176a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
178157, 173, 1773eqtr4d 2654 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
179141, 153, 1783eqtrd 2648 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
18021, 114, 1793eqtrd 2648 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  sincsin 14633  cosccos 14634  –cn→ccncf 22487   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvasinbx  38810  itgcoscmulx  38861  dirkeritg  38995  dirkercncflem2  38997
 Copyright terms: Public domain W3C validator