Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | omeiunltfirp.z |
. . . . . 6
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑁) |
2 | | fvex 6113 |
. . . . . 6
⊢
(ℤ≥‘𝑁) ∈ V |
3 | 1, 2 | eqeltri 2684 |
. . . . 5
⊢ 𝑍 ∈ V |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → 𝑍 ∈ V) |
5 | | omeiunltfirp.o |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas) |
6 | 5 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas) |
7 | | omeiunltfirp.x |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = ∪
dom 𝑂 |
8 | | omeiunltfirp.e |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) |
9 | 8 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋) |
10 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V |
11 | 10 | elpw 4114 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
12 | 9, 11 | sylib 207 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
13 | 6, 7, 12 | omecl 39393 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
14 | | eqid 2610 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
15 | 13, 14 | fmptd 6292 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞)) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞)) |
17 | | simpr 476 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) |
18 | | omeiunltfirp.re |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
19 | 18 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
20 | 4, 16, 17, 19 | sge0pnffigt 39289 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) |
21 | | simpl 472 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))) |
22 | | simpr 476 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) |
23 | | elpwinss 38241 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑍) |
24 | 23 | resmptd 5371 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
25 | 24 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
26 | 25 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) →
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
27 | 22, 26 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
28 | 27 | adantll 746 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
29 | 18 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
30 | 29 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
31 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) |
32 | 5 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas) |
33 | 8 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) |
34 | 23 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑍) |
35 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑧) |
36 | 34, 35 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑍) |
37 | 36 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑍) |
38 | 33, 37 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋) |
39 | 38, 11 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
40 | 32, 7, 39 | omecl 39393 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
41 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
42 | 40, 41 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑧⟶(0[,]+∞)) |
43 | 31, 42 | sge0xrcl 39278 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈
ℝ*) |
44 | 43 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈
ℝ*) |
45 | | elinel2 3762 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin) |
46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin) |
47 | | rge0ssre 12151 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
48 | | 0xr 9965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ* |
49 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 0 ∈
ℝ*) |
50 | | pnfxr 9971 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ +∞
∈ ℝ* |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → +∞ ∈
ℝ*) |
52 | 32, 7, 39 | omexrcl 39397 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
53 | | iccgelb 12101 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤
(𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
54 | 49, 51, 40, 53 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
55 | 12 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
56 | | iunss 4497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
57 | 55, 56 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
58 | 57 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
59 | 32, 7, 58 | omexrcl 39397 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
60 | | ssiun2 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) |
61 | 37, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) |
62 | 32, 7, 58, 61 | omessle 39388 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ≤ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) |
63 | 18 | ltpnfd 11831 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < +∞) |
64 | 63 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < +∞) |
65 | 52, 59, 51, 62, 64 | xrlelttrd 11867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) < +∞) |
66 | 49, 51, 52, 54, 65 | elicod 12095 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) |
67 | 47, 66 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
68 | 46, 67 | fsumrecl 14312 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
69 | | omeiunltfirp.y |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
70 | 69 | rpred 11748 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
71 | 70 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
72 | 68, 71 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ) |
73 | 72 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈
ℝ*) |
74 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈
ℝ*) |
75 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
76 | 66, 41 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑧⟶(0[,)+∞)) |
77 | 46, 76 | sge0fsum 39280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘)) |
78 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
79 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑘)) |
80 | 79 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
81 | 80 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
82 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧) |
83 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) ∈ V |
84 | 83 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) ∈ V) |
85 | 78, 81, 82, 84 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
86 | 85 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
87 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑛)) |
88 | 87 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
89 | 88 | cbvsumv 14274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Σ𝑘 ∈
𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) |
90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
91 | 77, 86, 90 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
92 | 69 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈
ℝ+) |
93 | 68, 92 | ltaddrpd 11781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
94 | 91, 93 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
96 | 30, 44, 74, 75, 95 | xrlttrd 11866 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
97 | 21, 28, 96 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
98 | 97 | ex 449 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
99 | 98 | adantlr 747 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
100 | 99 | reximdva 3000 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
101 | 20, 100 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
102 | | simpl 472 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → 𝜑) |
103 | | simpr 476 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) |
104 | 3 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V) |
105 | 104, 15 | sge0repnf 39279 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞)) |
106 | 105 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞)) |
107 | 103, 106 | mpbird 246 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
108 | | nfv 1830 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑛𝜑 |
109 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛Σ^ |
110 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
111 | 109, 110 | nffv 6110 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑛(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
112 | | nfcv 2751 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑛ℝ |
113 | 111, 112 | nfel 2763 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑛(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ |
114 | 108, 113 | nfan 1816 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑛(𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
115 | 3 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ V) |
116 | 13 | adantlr 747 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
117 | 69 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑌 ∈
ℝ+) |
118 | | simpr 476 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
119 | 114, 115,
116, 117, 118 | sge0ltfirpmpt 39301 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) |
120 | 18 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
121 | 118 | ad2antrr 758 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
122 | 72 | ad4ant13 1284 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ) |
123 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛𝐸 |
124 | 108, 123,
5, 7, 1, 8 | omeiunle 39407 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
125 | 124 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
126 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) |
127 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝜑) |
128 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑚)) |
129 | 128 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) |
130 | 129 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) |
131 | 130 | fveq2i 6106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) =
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) |
132 | 131 | eleq1i 2679 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
133 | 132 | biimpi 205 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ →
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
134 | 133 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
135 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) |
136 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin) |
137 | 66 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) |
138 | 136, 137 | sge0fsummpt 39283 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
139 | 127, 134,
135, 138 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
140 | 139 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
141 | 140 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
142 | 126, 141 | breqtrd 4609 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
143 | 120, 121,
122, 125, 142 | lelttrd 10074 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
144 | 143 | ex 449 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
145 | 144 | reximdva 3000 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
146 | 119, 145 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
147 | 102, 107,
146 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
148 | 101, 147 | pm2.61dan 828 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |