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Theorem fourierdlem90 39089
 Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem90.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem90.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem90.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem90.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem90.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem90.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem90.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem90.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem90.n 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
fourierdlem90.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem90.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem90.J 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem90.17 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem90.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem90.g 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
fourierdlem90.r 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
fourierdlem90.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝐿,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑦,𝑈   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑦,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
41, 2, 3fourierdlem11 39011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
54simp1d 1066 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
64simp2d 1067 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6iccssred 38574 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
84simp3d 1068 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 fourierdlem90.J . . . . . 6 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
105, 6, 8, 9fourierdlem17 39017 . . . . 5 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 39004 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
16 elioore 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
18 elioo4g 12105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
1915, 18sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2019simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2120simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < 𝐷)
22 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
23 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
25 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
2611, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25fourierdlem54 39053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
2726simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
2827simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
2927simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3022fourierdlem2 39002 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3228, 31mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
3332simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)))
34 elmapi 7765 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
36 fourierdlem90.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
37 elfzofz 12354 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
3935, 38ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
4013, 39ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
427, 41sseldd 3569 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
435rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
44 iocssre 12124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
4543, 6, 44syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
46 fzofzp1 12431 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4736, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4835, 47ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
4913, 48ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
5045, 49sseldd 3569 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
51 eqid 2610 . . 3 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
52 fourierdlem90.u . . . 4 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
5348, 50resubcld 10337 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
5452, 53syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
55 eqid 2610 . . 3 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
56 fourierdlem90.g . . . 4 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
57 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
5857anbi2d 736 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
59 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
6059fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
6160fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
62 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
6362fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
6463fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
6561, 64oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
6659fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
6766fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
6866oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
6968fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
7067, 69oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
7165, 70sseq12d 3597 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
7258, 71imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
7311oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
7473oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
7574eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7675rexbii 3023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄))
7877rabbiia 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
7978uneq2i 3726 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
8023, 79eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
8211eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵𝐴) = 𝑇
8382oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
8581, 84oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
8685eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8786rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8887cbvrabv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
8988uneq2i 3726 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
9080, 89eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
91 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
92 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
9311, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92fourierdlem79 39078 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
9472, 93vtoclg 3239 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
9594anabsi7 856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9636, 95mpdan 699 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9796resabs1d 5348 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
9897eqcomd 2616 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
991, 2, 3, 11, 12, 9, 92fourierdlem37 39037 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
10099simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
101100, 39ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
102101ancli 572 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
103 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
104103anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
105 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
106 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
107106fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
108105, 107oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
109108reseq2d 5317 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
110108oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
111109, 110eleq12d 2682 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
112104, 111imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
113 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
114112, 113vtoclg 3239 . . . . . . 7 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
115101, 102, 114sylc 63 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
116 rescncf 22508 . . . . . 6 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ)))
11796, 115, 116sylc 63 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11898, 117eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11956, 118syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
120 fourierdlem90.r . . 3 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
12142, 50, 51, 54, 55, 119, 120cncfshiftioo 38778 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ))
122120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
12352oveq2i 6560 . . . . . . 7 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
12564, 61oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12663, 59oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
127125, 126eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12858, 127imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
12980fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘𝐻) = (#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
130129oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐻) − 1) = ((#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
13124, 130eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
132 isoeq5 6471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
13380, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
134133iotabii 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
13525, 134eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
136 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1371, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136fourierdlem65 39064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
138128, 137vtoclg 3239 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
139138anabsi7 856 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14036, 139mpdan 699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14150recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
14248recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
14314, 17iccssred 38574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
144 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
145143, 144syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
14622, 29, 28fourierdlem15 39015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
147146, 38ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
148145, 147sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
149142, 148subcld 10271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
15042recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
151141, 149, 150subsub23d 38440 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
152140, 151mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
153152eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
154153oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
155141, 149subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
156155, 142, 141addsub12d 10294 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
157141, 149, 141sub32d 10303 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
158141subidd 10259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
159158oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
160 df-neg 10148 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
161142, 148negsubdi2d 10287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162160, 161syl5eqr 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
163157, 159, 1623eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
164163oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
165142, 148pncan3d 10274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
166156, 164, 1653eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
167124, 154, 1663eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
16852oveq2i 6560 . . . . . 6 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
169141, 142pncan3d 10274 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
170168, 169syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
171167, 170oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
172171mpteq1d 4666 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
173 fourierdlem90.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
174173feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
175174reseq1d 5316 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
176 ioossre 12106 . . . . . 6 ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ
177176a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ)
178177resmptd 5371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)))
17956fveq1i 6104 . . . . . . 7 (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈))
180179a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)))
18142adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
182181rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
18350adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
184183rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ*)
185177sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
18654adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ℝ)
18839rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
189188adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
19048rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
192 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
193 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
194189, 191, 192, 193syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
195167adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
196185recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
197186recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
198196, 197npcand 10275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) = 𝑦)
199194, 195, 1983brtr4d 4615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈))
200181, 187, 186ltadd1d 10499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈)))
201199, 200mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈))
202 iooltub 38582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
203189, 191, 192, 202syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
204170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
205203, 198, 2043brtr4d 4615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
206187, 183, 186ltadd1d 10499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)))
207205, 206mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
208182, 184, 187, 201, 207eliood 38567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
209 fvres 6117 . . . . . . 7 ((𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
210208, 209syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
21152oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
212211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
213142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
214141adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
215196, 213, 214subsub2d 10300 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
216214, 213subcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
2176, 5resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21811, 217syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
219218recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
2215, 6posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2228, 221mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
223222, 11syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑇)
224223gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ 0)
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ≠ 0)
226216, 220, 225divcan1d 10681 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
227226eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))
228227oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
229212, 215, 2283eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
230229fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))))
231173adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
232218adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
23312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
235 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
236235oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
237236fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
238237oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
239234, 238oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
240239adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
2416, 48resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
242241, 218, 224redivcld 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
243242flcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
244243zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
245244, 218remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
24648, 245readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
247233, 240, 48, 246fvmptd 6197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
248247oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
249244recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
250249, 219mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
251142, 250pncan2d 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
252248, 251eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
253252oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
254249, 219, 224divcan4d 10686 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
255253, 254eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
256255, 243eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
257256adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
258 fourierdlem90.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
259258adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
260231, 232, 257, 185, 259fperiodmul 38459 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
261230, 260eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹𝑦))
262180, 210, 2613eqtrrd 2649 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹𝑦) = (𝐺‘(𝑦𝑈)))
263262mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
264175, 178, 2633eqtrrd 2649 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
265122, 172, 2643eqtrd 2648 . 2 (𝜑𝑅 = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
266171oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ) = (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
267121, 265, 2663eltr3d 2702 1 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ℩cio 5766  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  ⌊cfl 12453  #chash 12979  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-cmp 21000  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  fourierdlem97  39096  fourierdlem98  39097  fourierdlem100  39099  fourierdlem107  39106  fourierdlem109  39108
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