Theorem pncan3d 10274

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan3 10168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  xralrple  11910  quoremz  12516  quoremnn0ALT  12518  intfrac2  12519  intfrac  12547  2cshwcshw  13422  isercoll2  14247  iseralt  14263  mertenslem1  14455  fprodser  14518  risefacfac  14605  fallfacfwd  14606  eflt  14686  efival  14721  bitsmod  14996  bitsinv1lem  15001  odzdvds  15338  modprm0  15348  pcaddlem  15430  vdwapun  15516  vdwlem12  15534  odmodnn0  17782  mndodconglem  17783  minveclem4  23011  ivthlem2  23028  dvn2bss  23499  ftc2  23611  mdegmullem  23642  plymullem1  23774  dvtaylp  23928  dvntaylp  23929  dvntaylp0  23930  taylthlem1  23931  ulmbdd  23956  affineequiv  24353  mcubic  24374  quart1lem  24382  quart1  24383  asinsin  24419  birthdaylem2  24479  emcllem6  24527  perfectlem2  24755  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  dchrisumlem1  24978  dchrvmasum2if  24986  dchrisum0lem1  25005  selberg3  25048  axsegconlem10  25606  smcnlem  26936  oddpwdc  29743  itg2addnclem3  32633  ftc2nc  32664  fzisoeu  38455  lptre2pt  38707  0ellimcdiv  38716  climleltrp  38743  ioodvbdlimc1lem2  38822  dvnprodlem1  38836  itgsinexp  38846  itgsbtaddcnst  38874  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem4  39004  fourierdlem13  39013  fourierdlem26  39026  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem50  39049  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem84  39083  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem93  39092  fourierdlem101  39100  fourierdlem107  39106  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fouriersw  39124  smfaddlem1  39649  sigarcol  39702  perfectALTVlem2  40165  ccatpfx  40272  nnpw2pmod  42175