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Theorem fourierdlem90 32221
Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem90.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem90.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem90.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem90.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem90.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem90.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem90.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem90.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem90.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem90.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem90.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem90.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem90.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem90.J  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem90.17  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem90.u  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
fourierdlem90.g  |-  G  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
fourierdlem90.r  |-  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )
fourierdlem90.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    y, G    f, H, y    x, H    f, I, k    i, I, x   
i, J, x, y   
i, L, x, y   
i, M, x    m, M, p    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, i, k, x, y    y, U    ph, f, k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    R( x, y, f, i, k, m, p)    S( m)    T( f, m, p)    U( x, f, i, k, m, p)    E( m, p)    F( f, k, m, p)    G( x, f, i, k, m, p)    H( i, k, m, p)    I(
y, m, p)    J( f, k, m, p)    L( f, k, m, p)    M( y, f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
41, 2, 3fourierdlem11 32142 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
54simp1d 1006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
64simp2d 1007 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
75, 6iccssred 31781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
84simp3d 1008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  B )
9 fourierdlem90.J . . . . . 6  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
105, 6, 8, 9fourierdlem17 32148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( B  -  A
)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 32135 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
14 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
16 elioore 11562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
18 elioo4g 11588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
1915, 18sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2019simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2120simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  <  D )
22 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
23 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
24 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
25 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
2611, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25fourierdlem54 32185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
2726simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
2827simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
2927simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3022fourierdlem2 32133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3228, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
3332simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
34 elmapi 7433 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
36 fourierdlem90.17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
37 elfzofz 11819 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
3935, 38ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
4013, 39ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  J )
)  e.  ( A (,] B ) )
4110, 40ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
427, 41sseldd 3490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
435rexrd 9632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
44 iocssre 11607 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
4543, 6, 44syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
46 fzofzp1 11890 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
4736, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
4835, 47ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
4913, 48ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  ( A (,] B ) )
5045, 49sseldd 3490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
51 eqid 2454 . . 3  |-  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
52 fourierdlem90.u . . . 4  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
5348, 50resubcld 9983 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5452, 53syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
55 eqid 2454 . . 3  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  =  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )
56 fourierdlem90.g . . . 4  |-  G  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
57 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  ( 0..^ N )  <->  J  e.  ( 0..^ N ) ) )
5857anbi2d 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
59 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  j )  =  ( S `  J ) )
6059fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  j ) )  =  ( E `  ( S `  J )
) )
6160fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( L `  ( E `  ( S `  j
) ) )  =  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) )
62 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
j  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
6362fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
6463fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
6561, 64oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
6659fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
I `  ( S `  j ) )  =  ( I `  ( S `  J )
) )
6766fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  j
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )
6866oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( I `  ( S `  j )
)  +  1 )  =  ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )
6968fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
7067, 69oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( Q `  (
I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
7165, 70sseq12d 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( L `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  <-> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
7258, 71imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
7311oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
7473oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
7574eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
7675rexbii 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( C [,] D )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q ) )
7877rabbiia 3095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
7978uneq2i 3641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
8023, 79eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
8211eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  -  A )  =  T
8382oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T
)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T ) )
8581, 84oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
8685eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
8786rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
8887cbvrabv 3105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
8988uneq2i 3641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
9080, 89eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
91 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  j )  +  if ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  <  ( ( Q `
 1 )  -  A ) ,  ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  /  2 ) ,  ( ( ( Q `  1 )  -  A )  / 
2 ) ) )  =  ( ( S `
 j )  +  if ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) )  < 
( ( Q ` 
1 )  -  A
) ,  ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  /  2 ) ,  ( ( ( Q `
 1 )  -  A )  /  2
) ) )
92 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
9311, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92fourierdlem79 32210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )
9472, 93vtoclg 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
9594anabsi7 817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
9636, 95mpdan 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
9796resabs1d 5291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
9897eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
991, 2, 3, 11, 12, 9, 92fourierdlem37 32168 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
10099simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
101100, 39ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )
102101ancli 549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )
103 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
104103anbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <-> 
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
105 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
106 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )
107106fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) )
108105, 107oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
109108reseq2d 5262 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) )
110108oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  =  ( ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
111109, 110eleq12d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  <-> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
112104, 111imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) ) )
113 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
114112, 113vtoclg 3164 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
115101, 102, 114sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
116 rescncf 21570 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) -cn-> CC ) ) )
11796, 115, 116sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
-cn-> CC ) )
11898, 117eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
-cn-> CC ) )
11956, 118syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) -cn-> CC ) )
120 fourierdlem90.r . . 3  |-  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )
12142, 50, 51, 54, 55, 119, 120cncfshiftioo 31937 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) ) -cn-> CC ) )
122120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U
) ) ) )
12352oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
124123a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
12564, 61oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )
12663, 59oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
127125, 126eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  <->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
12858, 127imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) ) )
12980fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
130129oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
13124, 130eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
132 isoeq5 6194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
13380, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
134133iotabii 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
13525, 134eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
136 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  j )  +  ( B  -  ( E `  ( S `
 j ) ) ) )  =  ( ( S `  j
)  +  ( B  -  ( E `  ( S `  j ) ) ) )
1371, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136fourierdlem65 32196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) ) )
138128, 137vtoclg 3164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
139138anabsi7 817 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
14036, 139mpdan 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
14150recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
14248recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
14314, 17iccssred 31781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
144 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
145143, 144syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  CC )
14622, 29, 28fourierdlem15 32146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
147146, 38ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( C [,] D ) )
148145, 147sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  CC )
149142, 148subcld 9922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
)  e.  CC )
15042recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
151141, 149, 150subsub23d 31717 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  =  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  <-> 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
152140, 151mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
153152eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
154153oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
155141, 149subcld 9922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
156155, 142, 141addsub12d 9945 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
157141, 149, 141sub32d 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) ) )
158141subidd 9910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  0 )
159158oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
160 df-neg 9799 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
161142, 148negsubdi2d 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
162160, 161syl5eqr 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
163157, 159, 1623eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `
 J )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
164163oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
165142, 148pncan3d 9925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
166156, 164, 1653eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
167124, 154, 1663eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( S `  J ) )
16852oveq2i 6281 . . . . . 6  |-  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
169141, 142pncan3d 9925 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
170168, 169syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
171167, 170oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) )  =  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
172171mpteq1d 4520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  |->  ( G `
 ( y  -  U ) ) ) )
173 fourierdlem90.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
174173feqmptd 5901 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
175174reseq1d 5261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
176 ioossre 11589 . . . . . 6  |-  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  C_  RR
177176a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  RR )
178177resmptd 5313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  |->  ( F `  y ) ) )
17956fveq1i 5849 . . . . . . 7  |-  ( G `
 ( y  -  U ) )  =  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) )
180179a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( G `  ( y  -  U ) )  =  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) ) )
18142adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  e.  RR )
182181rexrd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  e. 
RR* )
18350adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
184183rexrd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e. 
RR* )
185177sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
18654adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
187185, 186resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  e.  RR )
18839rexrd 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR* )
189188adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  e.  RR* )
19048rexrd 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
191190adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
192 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
193 ioogtlb 31770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  <  y )
194189, 191, 192, 193syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  <  y )
195167adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( S `  J
) )
196185recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
197186recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  U  e.  CC )
198196, 197npcand 9926 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  +  U )  =  y )
199194, 195, 1983brtr4d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U )  < 
( ( y  -  U )  +  U
) )
200181, 187, 186ltadd1d 10141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  <  ( y  -  U )  <->  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  +  U )  <  (
( y  -  U
)  +  U ) ) )
201199, 200mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  < 
( y  -  U
) )
202 iooltub 31790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
203189, 191, 192, 202syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
204170adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
205203, 198, 2043brtr4d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  +  U )  <  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )
206187, 183, 186ltadd1d 10141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <->  ( (
y  -  U )  +  U )  < 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) ) )
207205, 206mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
208182, 184, 187, 201, 207eliood 31773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  e.  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
209 fvres 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( y  -  U )  e.  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  ( y  -  U
) ) )
210208, 209syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  U
) )  =  ( F `  ( y  -  U ) ) )
21152oveq2i 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  -  U )  =  ( y  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
212211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  =  ( y  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
213142adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
214141adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
215196, 213, 214subsub2d 9951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  +  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
216214, 213subcld 9922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  CC )
2176, 5resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
21811, 217syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
219218recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
220219adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
2215, 6posdifd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2228, 221mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
223222, 11syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  T )
224223gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
225224adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
226216, 220, 225divcan1d 10317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  x.  T )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )
227226eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) )
228227oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  x.  T
) ) )
229212, 215, 2283eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  =  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  x.  T
) ) )
230229fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  (
y  +  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) ) ) )
231173adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  F : RR --> CC )
232218adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  e.  RR )
23312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
235 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
236235oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
237236fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
238237oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
239234, 238oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
240239adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
2416, 48resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
242241, 218, 224redivcld 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
243242flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
244243zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
245244, 218remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
24648, 245readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
247233, 240, 48, 246fvmptd 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
248247oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
249244recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  CC )
250249, 219mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  CC )
251142, 250pncan2d 9924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
252248, 251eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
253252oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
254249, 219, 224divcan4d 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) ) )
255253, 254eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
256255, 243eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
257256adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
258 fourierdlem90.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
259258adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
260231, 232, 257, 185, 259fperiodmul 31746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) ) )  =  ( F `  y ) )
261230, 260eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  y
) )
262180, 210, 2613eqtrrd 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( y  -  U
) ) )
263262mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
|->  ( F `  y
) )  =  ( y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) ) )
264175, 178, 2633eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
|->  ( G `  (
y  -  U ) ) )  =  ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
265122, 172, 2643eqtrd 2499 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
266171oveq1d 6285 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
267121, 265, 2663eltr3d 2556 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    u. cun 3459    C_ wss 3461   ifcif 3929   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   iotacio 5532   -->wf 5566   ` cfv 5570    Isom wiso 5571  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   |_cfl 11908   #chash 12390   -cn->ccncf 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-cmp 20057  df-cncf 21551
This theorem is referenced by:  fourierdlem97  32228  fourierdlem98  32229  fourierdlem100  32231  fourierdlem107  32238  fourierdlem109  32240
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