Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem90 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem90 31820
Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem90.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem90.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem90.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem90.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem90.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem90.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem90.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem90.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem90.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem90.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem90.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem90.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem90.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem90.J  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem90.17  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem90.u  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
fourierdlem90.g  |-  G  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
fourierdlem90.r  |-  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )
fourierdlem90.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    y, G    f, H, y    x, H    f, I, k    i, I, x   
i, J, x, y   
i, L, x, y   
i, M, x    m, M, p    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, i, k, x, y    y, U    ph, f, k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    R( x, y, f, i, k, m, p)    S( m)    T( f, m, p)    U( x, f, i, k, m, p)    E( m, p)    F( f, k, m, p)    G( x, f, i, k, m, p)    H( i, k, m, p)    I(
y, m, p)    J( f, k, m, p)    L( f, k, m, p)    M( y, f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
41, 2, 3fourierdlem11 31741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
54simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
64simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
75, 6iccssred 31426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
84simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  B )
9 fourierdlem90.J . . . . . 6  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
105, 6, 8, 9fourierdlem17 31747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( B  -  A
)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 31734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
14 ssid 3528 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
16 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
17 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
18 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
20 elioo4g 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2117, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2221simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2322simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  <  D )
24 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
25 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
26 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
27 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
2811, 1, 2, 3, 16, 19, 23, 24, 25, 26, 27fourierdlem54 31784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
2928simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
3029simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
3129simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3224fourierdlem2 31732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3430, 33mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
3534simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
36 elmapi 7452 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
38 fourierdlem90.17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
39 elfzofz 11823 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
4137, 40ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
4215, 41sseldd 3510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
4313, 42ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  J )
)  e.  ( A (,] B ) )
4410, 43ffvelrnd 6033 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
457, 44sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
465rexrd 9655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
47 iocssre 11616 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
4846, 6, 47syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
49 fzofzp1 11889 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
5038, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
5137, 50ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
5213, 51ffvelrnd 6033 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  ( A (,] B ) )
5348, 52sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
54 eqid 2467 . . 3  |-  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
55 fourierdlem90.u . . . 4  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
5651, 53resubcld 9999 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5755, 56syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
58 eqid 2467 . . 3  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  =  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )
59 fourierdlem90.g . . . . 5  |-  G  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
6059a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
61 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ph )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
63 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  ( 0..^ N )  <->  J  e.  ( 0..^ N ) ) )
6463anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
65 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  j )  =  ( S `  J ) )
6665fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  j ) )  =  ( E `  ( S `  J )
) )
6766fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( L `  ( E `  ( S `  j
) ) )  =  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) )
68 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
j  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
7069fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
7167, 70oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
7265fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
I `  ( S `  j ) )  =  ( I `  ( S `  J )
) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  j
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )
7472oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( I `  ( S `  j )
)  +  1 )  =  ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )
7574fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
7673, 75oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( Q `  (
I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
7771, 76sseq12d 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( L `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  <-> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
7864, 77imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
7911oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
8079oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
8180eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
8281rexbii 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( C [,] D )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q ) )
8483rabbiia 3107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
8584uneq2i 3660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
8625, 85eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
87 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
8811eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  -  A )  =  T
8988oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T
)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T ) )
9187, 90oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
9291eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
9392rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
9493cbvrabv 3117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
9594uneq2i 3660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
9686, 95eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
9796idi 2 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
98 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  j )  +  if ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  <  ( ( Q `
 1 )  -  A ) ,  ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  /  2 ) ,  ( ( ( Q `  1 )  -  A )  / 
2 ) ) )  =  ( ( S `
 j )  +  if ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) )  < 
( ( Q ` 
1 )  -  A
) ,  ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  /  2 ) ,  ( ( ( Q `
 1 )  -  A )  /  2
) ) )
99 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
10011, 1, 2, 3, 16, 19, 23, 24, 97, 26, 27, 12, 9, 98, 99fourierdlem79 31809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )
10178, 100vtoclg 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
10262, 101mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
10361, 38, 102syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
104 resabs1 5308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
105103, 104syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
106105eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
1071, 2, 3, 11, 12, 9, 99fourierdlem37 31767 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
108107simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
109108, 41ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )
11061, 109jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )
111 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
112111anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <-> 
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
113 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
114 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) )
116113, 115oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
117116reseq2d 5279 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) )
118116oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  =  ( ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
119117, 118eleq12d 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  <-> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
120112, 119imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) ) )
121 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
122120, 121vtoclg 3176 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
123109, 110, 122sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
124 rescncf 21269 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) -cn-> CC ) ) )
125103, 123, 124sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
-cn-> CC ) )
126106, 125eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
-cn-> CC ) )
12760, 126eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) -cn-> CC ) )
128 fourierdlem90.r . . 3  |-  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )
12945, 53, 54, 57, 58, 127, 128cncfshiftioo 31554 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) ) -cn-> CC ) )
130128a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U
) ) ) )
13155oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
132131a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
13370, 67oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )
13469, 65oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
135133, 134eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  <->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
13664, 135imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) ) )
13786fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
138137oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
13926, 138eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
140 isoeq5 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
14186, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
142141ax-gen 1601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. f
( f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) )
143 iotabi 5566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. f ( f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) )  -> 
( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
14527, 144eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
146 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  j )  +  ( B  -  ( E `  ( S `
 j ) ) ) )  =  ( ( S `  j
)  +  ( B  -  ( E `  ( S `  j ) ) ) )
1471, 11, 2, 3, 16, 17, 24, 139, 145, 12, 9, 146fourierdlem65 31795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) ) )
148136, 147vtoclg 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
14962, 148mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
15061, 38, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
15153recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
15251recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
15316, 19iccssred 31426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
154 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
156153, 155sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  CC )
15724, 31, 30fourierdlem15 31745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
158157, 40ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( C [,] D ) )
159156, 158sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  CC )
160152, 159subcld 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
)  e.  CC )
16145recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
162151, 160, 161subsub23d 31374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  =  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  <-> 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
163150, 162mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
164163eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
165164oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
166163, 161eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
167166, 152, 151addsub12d 9965 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
168151, 160, 151sub32d 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) ) )
169151subidd 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  0 )
170169oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
171152, 159negsubdi2d 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
172171eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  -u (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) )
173 df-neg 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
174173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) )  =  ( 0  -  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
175172, 174eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
176168, 170, 1753eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `
 J )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
177176oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
178152, 159pncan3d 9945 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
179167, 177, 1783eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
180132, 165, 1793eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( S `  J ) )
18155oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
182181a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
183151, 152pncan3d 9945 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
184182, 183eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
185180, 184oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) )  =  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
186185mpteq1d 4534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  |->  ( G `
 ( y  -  U ) ) ) )
187 fourierdlem90.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
188 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> CC  ->  F  Fn  RR )
189187, 188syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
190 dffn5 5919 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  RR  <->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) ) )
191189, 190sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
192191reseq1d 5278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
193 ioossre 11598 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  C_  RR
194193a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  RR )
195 resmpt 5329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
|->  ( F `  y
) ) )
196194, 195syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  |->  ( F `  y ) ) )
19759fveq1i 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 ( y  -  U ) )  =  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) )
198197a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( G `  ( y  -  U ) )  =  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) ) )
199194sselda 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
20057adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
201199, 200resubcld 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  e.  RR )
20241rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR* )
203202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  e.  RR* )
20451rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
206 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
207 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  <  y )
208203, 205, 206, 207syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  J )  <  y )
209180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( S `  J
) )
210154, 199sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
211154, 200sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  U  e.  CC )
212210, 211npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  +  U )  =  y )
213209, 212breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  <  ( ( y  -  U )  +  U )  <->  ( S `  J )  <  y
) )
214208, 213mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U )  < 
( ( y  -  U )  +  U
) )
21545adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  e.  RR )
216215, 201, 200ltadd1d 10157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  <  ( y  -  U )  <->  ( ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  +  U )  <  (
( y  -  U
)  +  U ) ) )
217214, 216mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  < 
( y  -  U
) )
218 iooltub 31435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
219203, 205, 206, 218syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
220184adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
221212, 220breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( y  -  U )  +  U
)  <  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  <->  y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
222219, 221mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  +  U )  <  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  +  U ) )
22353adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
224201, 223, 200ltadd1d 10157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <->  ( (
y  -  U )  +  U )  < 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) ) )
225222, 224mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
226201, 217, 2253jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  e.  RR  /\  ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  <  ( y  -  U )  /\  (
y  -  U )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
227215rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  e. 
RR* )
228223rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e. 
RR* )
229 elioo2 11582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  RR*  /\  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( y  -  U
)  e.  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
y  -  U )  e.  RR  /\  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  < 
( y  -  U
)  /\  ( y  -  U )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
230227, 228, 229syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( y  -  U
)  e.  ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
y  -  U )  e.  RR  /\  ( L `  ( E `  ( S `  J
) ) )  < 
( y  -  U
)  /\  ( y  -  U )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
231226, 230mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  e.  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
232 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  -  U )  e.  ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( L `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  ( y  -  U
) ) )
233231, 232syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( L `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  U
) )  =  ( F `  ( y  -  U ) ) )
23455oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  -  U )  =  ( y  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
235234a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  =  ( y  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
236152adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
237151adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
238210, 236, 237subsub2d 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  +  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
239237, 236subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  CC )
2406, 5resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
24111, 240syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2425, 6posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2438, 242mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
24488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =  T )
245243, 244breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  T )
246241, 245elrpd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
247246rpcnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
248247adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
249245gt0ne0d 10129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
250249adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
251239, 248, 250divcan1d 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  x.  T )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )
252251eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) )
253252oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  x.  T
) ) )
254235, 238, 2533eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  -  U )  =  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  x.  T
) ) )
255254fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  (
y  +  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) ) ) )
256187adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  F : RR --> CC )
257241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  T  e.  RR )
25812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
259 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
260 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
261260oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
262261fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
263262oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
264259, 263oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
265264adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
2666, 51resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
26761, 249syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
268266, 241, 267redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
269268flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
270269zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
27161, 241syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
272270, 271remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
27351, 272readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
274258, 265, 51, 273fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
275274oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
276154, 270sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  CC )
27761, 247syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
278276, 277mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  CC )
279152, 278pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
280275, 279eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
281280oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
282276, 277, 267divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) ) )
283 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  =  ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) ) )
284281, 282, 2833eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
285284, 269eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
286285adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
287 fourierdlem90.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
288287adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
289256, 257, 286, 199, 288fperiodmul 31404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  +  ( ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T )  x.  T ) ) )  =  ( F `  y ) )
290255, 289eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  -  U ) )  =  ( F `  y
) )
291198, 233, 2903eqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( y  -  U
) ) )
292291mpteq2dva 4539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
|->  ( F `  y
) )  =  ( y  e.  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  |->  ( G `  ( y  -  U ) ) ) )
293192, 196, 2923eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  |->  ( G `
 ( y  -  U ) ) ) )
294293eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
|->  ( G `  (
y  -  U ) ) )  =  ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
295130, 186, 2943eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
296185oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( L `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
297295, 296eleq12d 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( ( ( ( L `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) )
-cn-> CC )  <->  ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
298129, 297mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    u. cun 3479    C_ wss 3481   ifcif 3945   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ran crn 5006    |` cres 5007   iotacio 5555    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   (,]cioc 11542   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   |_cfl 11907   #chash 12385   -cn->ccncf 21248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-cmp 19755  df-cncf 21250
This theorem is referenced by:  fourierdlem97  31827  fourierdlem98  31828  fourierdlem100  31830  fourierdlem107  31837  fourierdlem109  31839
  Copyright terms: Public domain W3C validator