Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 23509. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dvaddbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 23468 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 23468 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
1611, 15mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1716simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌))
1810, 17elind 3760 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
193cnfldtopon 22396 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 resttopon 20775 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2119, 5, 20sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22 topontop 20541 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 20542 . . . . . 6 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
267, 25sseqtrd 3604 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
2714, 25sseqtrd 3604 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝐽t 𝑆))
28 eqid 2610 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2928ntrin 20675 . . . 4 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3118, 30eleqtrrd 2691 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)))
32 inss1 3795 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
33 ssdif 3707 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3432, 33mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3534sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
367, 5sstrd 3578 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3728ntrss2 20671 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3823, 26, 37syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3938, 10sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
406, 36, 39dvlem 23466 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
4135, 40syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
42 inss2 3796 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
43 ssdif 3707 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4544sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4614, 5sstrd 3578 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
4728ntrss2 20671 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4823, 27, 47syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4948, 17sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑌)
5013, 46, 49dvlem 23466 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
5145, 50syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
52 ssid 3587 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
54 txtopon 21204 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5519, 19, 54mp2an 704 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5655toponunii 20547 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5756restid 15917 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
5958eqcomi 2619 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
609simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
6140, 4fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
6236ssdifssd 3710 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
63 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
6432, 7syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑆)
6564, 25sseqtrd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
66 difssd 3700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ (𝐽t 𝑆))
6765, 66unssd 3751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
68 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)))
7028ntrss 20669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7123, 67, 69, 70syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7271, 31sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7372, 39elind 3760 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7432a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
75 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)
7628, 75restntr 20796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7723, 26, 74, 76syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
783cnfldtop 22397 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
80 cnex 9896 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
81 ssexg 4732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
825, 80, 81sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ V)
83 restabs 20779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8479, 7, 82, 83syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8584fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
8685fveq1d 6105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8777, 86eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8873, 87eleqtrd 2690 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
89 undif1 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
9039snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
91 ssequn2 3748 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9290, 91sylib 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9389, 92syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9493oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑋))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
96 undif1 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶})
9739, 49elind 3760 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑌))
9897snssd 4281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋𝑌))
99 ssequn2 3748 . . . . . . . . . . 11 ({𝐶} ⊆ (𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10098, 99sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10196, 100syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10295, 101fveq12d 6109 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
10388, 102eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
10461, 34, 62, 3, 63, 103limcres 23456 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10534resmptd 5371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
106105oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
107104, 106eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10860, 107eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10916simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
11050, 12fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
11146ssdifssd 3710 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
112 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
113 difssd 3700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
11465, 113unssd 3751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
115 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)))
11728ntrss 20669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
11823, 114, 116, 117syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
119118, 31sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
120119, 49elind 3760 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12142a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
122 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)
12328, 122restntr 20796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12423, 27, 121, 123syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
125 restabs 20779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
12679, 14, 82, 125syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
127126fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
128127fveq1d 6105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
129124, 128eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
130120, 129eleqtrd 2690 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
131 undif1 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
13249snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
133 ssequn2 3748 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
134132, 133sylib 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
135131, 134syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
136135oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
137136fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
138137, 101fveq12d 6109 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
139130, 138eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
140110, 44, 111, 3, 112, 139limcres 23456 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
14144resmptd 5371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
142141oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
143140, 142eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
144109, 143eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1453addcn 22476 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1465, 6, 7dvcl 23469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1471, 146mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1485, 13, 14dvcl 23469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
14911, 148mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
150 opelxpi 5072 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
151147, 149, 150syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
15256cncnpi 20892 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
153145, 151, 152sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
15441, 51, 53, 53, 3, 59, 108, 144, 153limccnp2 23462 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
155 eldifi 3694 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
156155adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
157 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
1586, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
160 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑌)
16113, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
163 ssexg 4732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
16436, 80, 163sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
166 ssexg 4732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
16746, 80, 166sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ V)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
169 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) = (𝑋𝑌)
170 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
171 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
172159, 162, 165, 168, 169, 170, 171ofval 6804 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
173156, 172mpdan 699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
174 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
175 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
176159, 162, 165, 168, 169, 174, 175ofval 6804 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
17797, 176mpidan 701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
178173, 177oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))))
179 difss 3699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌)
180179, 32sstri 3577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
181180sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑋)
182 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1836, 181, 182syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
184179, 42sstri 3577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
185184sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
186 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18713, 185, 186syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
1886, 39ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
189188adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
19013, 49ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
191190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
192183, 187, 189, 191addsub4d 10318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
193178, 192eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
194193oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
195183, 189subcld 10271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
196187, 191subcld 10271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
197180, 36syl5ss 3579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
198197sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
19936, 39sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
200199adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
201198, 200subcld 10271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
202 eldifsni 4261 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
203202adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
204198, 200, 203subne0d 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
205195, 196, 201, 204divdird 10718 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
206194, 205eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
207206mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))))
208207oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
209154, 208eleqtrrd 2691 . 2 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
210 eqid 2610 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
211 addcl 9897 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
212211adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
213212, 6, 13, 164, 167, 169off 6810 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
2142, 3, 210, 5, 213, 64eldv 23468 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
21531, 209, 214mpbir2and 959 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145   / cdiv 10563   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  intcnt 20631   Cn ccn 20838   CnP ccnp 20839   ×t ctx 21173   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvadd  23509  dvaddf  23511
 Copyright terms: Public domain W3C validator