MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Structured version   Unicode version

Theorem dvmptntr 22104
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvmptntr.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvmptntr.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptntr.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptntr  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21020 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 resttopon 19423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
71, 6syl5eqel 2554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
8 topontop 19189 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
11 toponuni 19190 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
127, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
1310, 12sseqtrd 3535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
14 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1514ntridm 19330 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  (
( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( int `  J ) `
 X ) )
169, 13, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  X )
)
17 dvmptntr.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
1817fveq2d 5863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  Y )
)
1916, 18eqtr3d 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  ( ( int `  J ) `  Y
) )
2019reseq2d 5266 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
21 dvmptntr.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
22 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2321, 22fmptd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
242, 1dvres 22045 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  X  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
2614ntrss2 19319 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  X
)  C_  X )
279, 13, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  C_  X )
2817, 27eqsstr3d 3534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928, 10sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
302, 1dvres 22045 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Y  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
3220, 25, 313eqtr4d 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) ) )
33 ssid 3518 . . . . 5  |-  X  C_  X
34 resmpt 5316 . . . . 5  |-  ( X 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3533, 34mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3635oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
3732, 36eqtr3d 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
38 resmpt 5316 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3928, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4039oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
4137, 40eqtr3d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   U.cuni 4240    |-> cmpt 4500    |` cres 4996   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   ↾t crest 14667   TopOpenctopn 14668  ℂfldccnfld 18186   Topctop 19156  TopOnctopon 19157   intcnt 19279    _D cdv 21997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-rest 14669  df-topn 14670  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-cnp 19490  df-xms 20553  df-ms 20554  df-limc 22000  df-dv 22001
This theorem is referenced by:  rolle  22121  cmvth  22122  dvlip  22124  dvlipcn  22125  dvle  22138  dvfsumabs  22154  ftc2  22175  itgparts  22178  itgsubstlem  22179  lgamgulmlem2  28200  ftc2nc  29665  areacirc  29678  itgsin0pilem1  31224  itgsbtaddcnst  31257
  Copyright terms: Public domain W3C validator