Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Structured version   Unicode version

Theorem dvmptntr 22664
 Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s
dvmptntr.x
dvmptntr.a
dvmptntr.j t
dvmptntr.k fld
dvmptntr.i
Assertion
Ref Expression
dvmptntr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9 t
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11 fld
32cnfldtopon 21580 . . . . . . . . . 10 TopOn
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10
5 resttopon 19953 . . . . . . . . . 10 TopOn t TopOn
63, 4, 5sylancr 661 . . . . . . . . 9 t TopOn
71, 6syl5eqel 2494 . . . . . . . 8 TopOn
8 topontop 19717 . . . . . . . 8 TopOn
97, 8syl 17 . . . . . . 7
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8
11 toponuni 19718 . . . . . . . . 9 TopOn
127, 11syl 17 . . . . . . . 8
1310, 12sseqtrd 3477 . . . . . . 7
14 eqid 2402 . . . . . . . 8
1514ntridm 19860 . . . . . . 7
169, 13, 15syl2anc 659 . . . . . 6
17 dvmptntr.i . . . . . . 7
1817fveq2d 5852 . . . . . 6
1916, 18eqtr3d 2445 . . . . 5
2019reseq2d 5093 . . . 4
21 dvmptntr.a . . . . . 6
22 eqid 2402 . . . . . 6
2321, 22fmptd 6032 . . . . 5
242, 1dvres 22605 . . . . 5
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1231 . . . 4
2614ntrss2 19848 . . . . . . . 8
279, 13, 26syl2anc 659 . . . . . . 7
2817, 27eqsstr3d 3476 . . . . . 6
2928, 10sstrd 3451 . . . . 5
302, 1dvres 22605 . . . . 5
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1231 . . . 4
3220, 25, 313eqtr4d 2453 . . 3
33 ssid 3460 . . . . 5
34 resmpt 5142 . . . . 5
3533, 34mp1i 13 . . . 4
3635oveq2d 6293 . . 3
3732, 36eqtr3d 2445 . 2
3828resmptd 5144 . . 3
3938oveq2d 6293 . 2
4037, 39eqtr3d 2445 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wss 3413  cuni 4190   cmpt 4452   cres 4824  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc 9519   ↾t crest 15033  ctopn 15034  ℂfldccnfld 18738  ctop 19684  TopOnctopon 19685  cnt 19808   cdv 22557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-rest 15035  df-topn 15036  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-cnp 20020  df-xms 21113  df-ms 21114  df-limc 22560  df-dv 22561 This theorem is referenced by:  rolle  22681  cmvth  22682  dvlip  22684  dvlipcn  22685  dvle  22698  dvfsumabs  22714  ftc2  22735  itgparts  22738  itgsubstlem  22739  lgamgulmlem2  23683  ftc2nc  31452  areacirc  31463  itgsin0pilem1  37097  itgsbtaddcnst  37130
 Copyright terms: Public domain W3C validator