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Theorem areacirc 32675
 Description: The area of a circle of radius 𝑅 is π · 𝑅↑2. This is Metamath 100 proof #9. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
Assertion
Ref Expression
areacirc ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem areacirc
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . . . 6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
2 opabssxp 5116 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))} ⊆ (ℝ × ℝ)
31, 2eqsstri 3598 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))
51areacirclem5 32674 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
6 resqcl 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8 resqcl 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
983ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12 absresq 13890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
13123ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
1413breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
15 recn 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
1615abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
17163ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
18 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1915absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
20193ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
21 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2217, 18, 20, 21le2sqd 12906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
237, 9subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2414, 22, 233bitr4d 299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
2524biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
2611, 25resqrtcld 14004 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
2726renegcld 10336 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
28 iccmbl 23141 . . . . . . . . . 10 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
2927, 26, 28syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
30 mblvol 23105 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3211, 25sqrtge0d 14007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3326, 26, 32, 32addge0d 10482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
34 recn 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
3534sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3715sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
38373ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
3936, 38subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
4039sqrtcld 14024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4241, 41subnegd 10278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4342breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
4426, 27subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4543, 44bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4633, 45mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
47 ovolicc 23098 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4827, 26, 46, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4931, 48eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
5026, 27resubcld 10337 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ℝ)
5149, 50eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)
52 volf 23104 . . . . . . . . . 10 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
53 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
54 elpreima 6245 . . . . . . . . . 10 (vol Fn dom vol → ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)))
5552, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ))
5629, 51, 55sylanbrc 695 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ))
57 0mbl 23114 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
58 mblvol 23105 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
60 ovol0 23068 . . . . . . . . . . . 12 (vol*‘∅) = 0
6159, 60eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (vol‘∅) = 0
62 0re 9919 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
6361, 62eqeltri 2684 . . . . . . . . . 10 (vol‘∅) ∈ ℝ
64 elpreima 6245 . . . . . . . . . . 11 (vol Fn dom vol → (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ)))
6552, 53, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ))
6657, 63, 65mpbir2an 957 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ (vol “ ℝ)
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ∅ ∈ (vol “ ℝ))
6856, 67ifclda 4070 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) ∈ (vol “ ℝ))
695, 68eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
70693expa 1257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
7170ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
725fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
73723expa 1257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
7473mpteq2dva 4672 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))))
75 renegcl 10223 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ ℝ)
77 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
78 iccssre 12126 . . . . . . 7 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7976, 77, 78syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
80 rembl 23115 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ℝ ∈ dom vol)
82 fvex 6113 . . . . . . 7 (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V
8382a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V)
84 eldif 3550 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
85 3anass 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
87753ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → -𝑅 ∈ ℝ)
88 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8987, 18, 88syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
90 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
9190, 18absled 14017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
9290biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9391, 92bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9486, 89, 933bitr4rd 300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9594biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9695con3d 147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
97963expia 1259 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
9897impd 446 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9984, 98syl5bi 231 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
10099imp 444 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
101 iffalse 4045 . . . . . . . . 9 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = ∅)
102101fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘∅))
103102, 61syl6eq 2660 . . . . . . 7 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
104100, 103syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10576, 77, 88syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
10691biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
107106expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
1081073expia 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))))
1091083impd 1273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
110105, 109sylbid 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
1111103impia 1253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
112 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
113112fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
11563ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
11675, 78mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
117116sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
1181173adant2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
119118resqcld 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
120115, 119resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12175, 88mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12322, 91, 143bitr3rd 298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12423, 123bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
125124biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
126125expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1271263expia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
1281273impd 1273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
129122, 128sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
1301293impia 1253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
131120, 130resqrtcld 14004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
132131renegcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
133132, 131, 28syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
134133, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
135120recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
136135sqrtcld 14024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
137136, 136subnegd 10278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
138120, 130sqrtge0d 14007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
139131, 131, 138, 138addge0d 10482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
140137breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
141131, 132subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
142140, 141bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
143139, 142mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
144132, 131, 143, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1451362timesd 11152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
146137, 144, 1453eqtr4d 2654 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
147114, 134, 1463eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1481473expa 1257 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
149148mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
150 areacirclem3 32672 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ 𝐿1)
151149, 150eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15279, 81, 83, 104, 151iblss2 23378 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15374, 152eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1)
154 dmarea 24484 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1))
1554, 71, 153, 154syl3anbrc 1239 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ∈ dom area)
156 areaval 24491 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
157155, 156syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
158 elioore 12076 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
15953expa 1257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
160158, 159sylan2 490 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
161160fveq2d 6107 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
162161itgeq2dv 23354 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
163 ioossre 12106 . . . . 5 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
164163a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
165 eldif 3550 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)))
16675rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ*)
167 rexr 9964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
168 elioo2 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
169166, 167, 168syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
1701693ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
17190biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
17290, 18absltd 14016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
173 3anass 1035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
175171, 172, 1743bitr4rd 300 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
176170, 175bitrd 267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
177176notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
17818, 17lenltd 10062 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
179177, 178bitr4d 270 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)))
1805adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
181180fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
18217anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅))
183 eqle 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
184182, 183, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
185 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑡) = 𝑅 → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
186185adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
18713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
188186, 187eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (𝑅↑2) = (𝑡↑2))
189 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) = ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))
190189fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
191190negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
192191, 190oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))))
1938recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
194193subidd 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)) = 0)
195194fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘0))
196195negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘0))
197 sqrt0 13830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (√‘0) = 0
198197negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(√‘0) = -0
199 neg0 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
200198, 199eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(√‘0) = 0
201196, 200syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
202195, 197syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
203201, 202oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
2042033ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
205192, 204sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
206205fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol‘(0[,]0)))
207 iccmbl 23141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0[,]0) ∈ dom vol)
20862, 62, 207mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]0) ∈ dom vol
209 mblvol 23105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]0) ∈ dom vol → (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0)))
210208, 209ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0))
211 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℝ*
212 iccid 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
213212fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ* → (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0}))
214211, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0})
215 ovolsn 23070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ → (vol*‘{0}) = 0)
21662, 215ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘{0}) = 0
217214, 216eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol*‘(0[,]0)) = 0
218210, 217eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(0[,]0)) = 0
219206, 218syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
220188, 219syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
221184, 220eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
222221ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
22418, 17ltnled 10063 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
226 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
22717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
228 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑡))
229226, 227, 228leltned 10069 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
230225, 229bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
231230, 103syl6bir 243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) ≠ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
232223, 231pm2.61dne 2868 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
233181, 232eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
234233ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
235179, 234sylbid 229 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
2362353expia 1259 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)))
237236impd 446 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
238165, 237syl5bi 231 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
239238imp 444 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
240164, 239itgss 23384 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
241 negeq 10152 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 0 → -𝑅 = -0)
242241, 199syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → -𝑅 = 0)
243 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → 𝑅 = 0)
244242, 243oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = (0(,)0))
245 iooid 12074 . . . . . . . 8 (0(,)0) = ∅
246244, 245syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
247246adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
248 itgeq1 23345 . . . . . 6 ((-𝑅(,)𝑅) = ∅ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
249247, 248syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
250 itg0 23352 . . . . . 6 ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = 0
251 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝑅↑2) = (0↑2))
252251oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (π · (𝑅↑2)) = (π · (0↑2)))
253 sq0 12817 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
254253oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (π · (0↑2)) = (π · 0)
255 picn 24015 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
256255mul01i 10105 . . . . . . . . 9 (π · 0) = 0
257254, 256eqtr2i 2633 . . . . . . . 8 0 = (π · (0↑2))
258252, 257syl6reqr 2663 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → 0 = (π · (𝑅↑2)))
259258adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → 0 = (π · (𝑅↑2)))
260250, 259syl5eq 2656 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
261249, 260eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
262 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
263 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ∈ ℝ)
264 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
265263, 77, 264leltned 10069 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0 < 𝑅𝑅 ≠ 0))
266265biimp3ar 1425 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 0 < 𝑅)
267262, 266elrpd 11745 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2682673expa 1257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
269158, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
270269adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
271 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
272271adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
273271renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
274273rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ*)
275 rpxr 11716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
276274, 275, 168syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
277 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
278271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
279277, 278absltd 14016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
280279biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
281280exp4b 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → (abs‘𝑡) < 𝑅))))
2822813impd 1273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
283276, 282sylbid 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
284283imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) < 𝑅)
285270, 272, 284ltled 10064 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
286285, 113syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
287271resqcld 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
288287recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
289288adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
290193adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
291289, 290subcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
292291sqrtcld 14024 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
293292, 292subnegd 10278 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
294158, 293sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
295287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
298158, 297sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
299 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
30016adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
30119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
302 rpge0 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
303302adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
304300, 278, 301, 303lt2sqd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
30512adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
306305breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < (𝑅↑2)))
307304, 279, 3063bitr3rd 298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
308296, 295posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
309307, 308bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
310309biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
311310exp4b 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3123113impd 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
313276, 312sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
314313imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
315299, 298, 314ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
316298, 315resqrtcld 14004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
317316renegcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
318317, 316, 28syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
319318, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
320298, 315sqrtge0d 14007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
321316, 316, 320, 320addge0d 10482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
322294breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
323316, 317subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
324322, 323bitr3d 269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
325321, 324mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
326317, 316, 325, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
327319, 326eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
328 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
329328a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℝ ⊆ ℂ)
330273, 271, 78syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
331 rpcn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
332331sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
333332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
334330sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℝ)
335334recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℂ)
336331adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
337 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
338337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
339335, 336, 338divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ)
340 asincl 24400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
341339, 340syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
342 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
343339sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
344342, 343subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
345344sqrtcld 14024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
346339, 345mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
347341, 346addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
348333, 347mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ℂ)
349 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
350349tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
351 iccntr 22432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
352273, 271, 351syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
353329, 330, 348, 350, 349, 352dvmptntr 23540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))))
354 areacirclem1 32670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
355353, 354eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
356355adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
357 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢↑2) = (𝑡↑2))
358357oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑅↑2) − (𝑢↑2)) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
359358fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
360359oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
361360adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
362 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅))
363 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V
364363a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V)
365356, 361, 362, 364fvmptd 6197 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
366158, 292sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
3673662timesd 11152 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
368365, 367eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
369294, 327, 3683eqtr4rd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
370286, 369eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡))
371370itgeq2dv 23354 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡)
372271, 271, 302, 302addge0d 10482 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅 + 𝑅))
373331, 331subnegd 10278 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 − -𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
374373breq2d 4595 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ 0 ≤ (𝑅 + 𝑅)))
375271, 273subge0d 10496 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
376374, 375bitr3d 269 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 + 𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
377372, 376mpbid 221 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅𝑅)
378 2cn 10968 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
379163, 328sstri 3577 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ
380 ssid 3587 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
381378, 379, 3803pm3.2i 1232 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
382 cncfmptc 22522 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
383381, 382mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
384 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅)
385 resmpt 5369 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))))
386384, 385ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))
387 areacirclem2 32671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
388271, 302, 387syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
389 rescncf 22508 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ)))
390384, 388, 389mpsyl 66 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
391386, 390syl5eqelr 2693 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
392383, 391mulcncf 23023 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
393355, 392eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
394384a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅))
395 ioombl 23140 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol
396395a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol)
397 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V
398397a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V)
399 areacirclem3 32672 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
400394, 396, 398, 399iblss 23377 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
401271, 302, 400syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
402355, 401eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ 𝐿1)
403 areacirclem4 32673 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
404273, 271, 377, 393, 402, 403ftc2nc 32664 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)))
405 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))
406 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (𝑅 / 𝑅))
407406fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)))
408406oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((𝑅 / 𝑅)↑2))
409408oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))
410409fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))
411406, 410oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))
412407, 411oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))))
413412oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
414413adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = 𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
415 ubicc2 12160 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
416274, 275, 377, 415syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
417 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V
418417a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
419405, 414, 416, 418fvmptd 6197 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
420331, 337dividd 10678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) = 1)
421420fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘1))
422 asin1 24421 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘1) = (π / 2)
423421, 422syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (π / 2))
424420oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = (1↑2))
425 sq1 12820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1↑2) = 1
426424, 425syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
427426oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
428 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
429428subidd 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − 1) = 0)
430427, 429eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
431430fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
432431, 197syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
433432oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · 0))
434331, 331, 337divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
435434mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
436433, 435eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
437423, 436oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = ((π / 2) + 0))
438 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
439255, 378, 438divcli 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
440439a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℂ)
441440addid1d 10115 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) + 0) = (π / 2))
442437, 441eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (π / 2))
443442oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
444419, 443eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
445 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
446445fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)))
447445oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((-𝑅 / 𝑅)↑2))
448447oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = -𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))
449448fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))
450445, 449oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))
451446, 450oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = -𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
452451adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
453452oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
454 lbicc2 12159 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
455274, 275, 377, 454syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
456 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V
457456a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
458405, 453, 455, 457fvmptd 6197 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
459331, 331, 337divnegd 10693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
460420negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = -1)
461459, 460eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) = -1)
462461fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘-1))
463 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
464 asinneg 24413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
465463, 464ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
466422negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . 14 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
467465, 466eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
468462, 467syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = -(π / 2))
469461oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = (-1↑2))
470 neg1sqe1 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1↑2) = 1
471469, 470syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
472471oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
473472, 429eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
474473fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
475474, 197syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
476475oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · 0))
477273recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℂ)
478477, 331, 337divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
479478mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
480476, 479eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
481468, 480oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (-(π / 2) + 0))
482439negcli 10228 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) ∈ ℂ
483482a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(π / 2) ∈ ℂ)
484483addid1d 10115 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(π / 2) + 0) = -(π / 2))
485481, 484eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = -(π / 2))
486485oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
487458, 486eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
488444, 487oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
489439, 439subnegi 10239 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
490 pidiv2halves 24023 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) + (π / 2)) = π
491489, 490eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
492491a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) − -(π / 2)) = π)
493492oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = ((𝑅↑2) · π))
494332, 440, 483subdid 10365 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
495255a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → π ∈ ℂ)
496332, 495mulcomd 9940 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · π) = (π · (𝑅↑2)))
497493, 494, 4963eqtr3d 2652 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))) = (π · (𝑅↑2)))
498488, 497eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (π · (𝑅↑2)))
499371, 404, 4983eqtrd 2648 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
500268, 499syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
501261, 500pm2.61dane 2869 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
502162, 240, 5013eqtr3d 2652 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
503157, 502eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  abscabs 13822  πcpi 14636  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487  vol*covol 23038  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193   D cdv 23433  arcsincasin 24389  areacarea 24482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554 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