Theorem eqle 10018

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 10012	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
2		breq2 4587	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	biimpac 502	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 3	sylan 487	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  eqled  10019  sqrtneglem  13855  leabs  13887  cjcn2  14178  abscvgcvg  14392  dvlip  23560  dvfsumlem3  23595  dvradcnv  23979  ppip1le  24687  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0lem3  25008  rplogsum  25016  mudivsum  25019  nmlno0lem  27032  nmblolbii  27038  nmlnop0iALT  28238  nmbdoplbi  28267  nmcoplbi  28271  nmbdfnlbi  28292  nmcfnlbi  28295  pjnmopi  28391  areacirc  32675  dvconstbi  37555  binomcxplemnn0  37570  pfxsuffeqwrdeq  40269