MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Unicode version

Theorem eqle 9465
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 9458 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 breq2 4284 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  B ) )
32biimpac 483 . 2  |-  ( ( A  <_  A  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
41, 3sylan 468 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9269    <_ cle 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412
This theorem is referenced by:  sqrneglem  12740  leabs  12772  cjcn2  13061  abscvgcvg  13265  dvlip  21307  dvfsumlem3  21342  dvradcnv  21771  ppip1le  22384  dchrvmasumiflem2  22636  dchrisum0lem3  22653  rplogsum  22661  mudivsum  22664  nmlno0lem  24016  nmblolbii  24022  nmlnop0iALT  25222  nmbdoplbi  25251  nmcoplbi  25255  nmbdfnlbi  25276  nmcfnlbi  25279  pjnmopi  25375  areacirc  28333  dvconstbi  29453
  Copyright terms: Public domain W3C validator