MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Unicode version

Theorem eqle 9718
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 9711 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 breq2 4399 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  B ) )
32biimpac 484 . 2  |-  ( ( A  <_  A  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
41, 3sylan 469 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   RRcr 9521    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664
This theorem is referenced by:  eqled  9719  sqrtneglem  13249  leabs  13281  cjcn2  13571  abscvgcvg  13784  dvlip  22686  dvfsumlem3  22721  dvradcnv  23108  ppip1le  23816  dchrvmasumiflem2  24068  dchrisum0lem3  24085  rplogsum  24093  mudivsum  24096  nmlno0lem  26122  nmblolbii  26128  nmlnop0iALT  27327  nmbdoplbi  27356  nmcoplbi  27360  nmbdfnlbi  27381  nmcfnlbi  27384  pjnmopi  27480  areacirc  31483  dvconstbi  36087  binomcxplemnn0  36102  pfxsuffeqwrdeq  37893
  Copyright terms: Public domain W3C validator