MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Unicode version

Theorem eqle 9676
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 9669 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 breq2 4444 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  B ) )
32biimpac 486 . 2  |-  ( ( A  <_  A  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
41, 3sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   RRcr 9480    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  sqrneglem  13050  leabs  13082  cjcn2  13371  abscvgcvg  13582  dvlip  22122  dvfsumlem3  22157  dvradcnv  22543  ppip1le  23156  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0lem3  23425  rplogsum  23433  mudivsum  23436  nmlno0lem  25370  nmblolbii  25376  nmlnop0iALT  26576  nmbdoplbi  26605  nmcoplbi  26609  nmbdfnlbi  26630  nmcfnlbi  26633  pjnmopi  26729  areacirc  29676  dvconstbi  30794  eqled  30986  fourierdlem37  31399  fourierdlem54  31416  fourierdlem79  31441
  Copyright terms: Public domain W3C validator