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Theorem dvlip 23560
Description: A function with derivative bounded by 𝑀 is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvlip.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvlip.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dvlip.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvlip.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip.l ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem dvlip
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑌))
21oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌)))
32fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))))
4 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑌 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝑌))
54fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑌 → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑌)))
65oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑌 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))
73, 6breq12d 4596 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))))
87imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))))))
9 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑋 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑋))
109oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌)))
1110fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) = (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))))
12 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑌) = (𝑋𝑌))
1312fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (abs‘(𝑏𝑌)) = (abs‘(𝑋𝑌)))
1413oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) = (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
1511, 14breq12d 4596 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌))) ↔ (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑌)))) ↔ (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))))
17 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
18 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
1917, 18oveqan12d 6568 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))
2019fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
21 oveq12 6558 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑦𝑥) = (𝑏𝑎))
2221fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑏𝑎)))
2322oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
2420, 23breq12d 4596 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑥 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
2524ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
27 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
2826, 27oveqan12d 6568 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏)))
2928fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
30 oveq12 6558 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑦𝑥) = (𝑎𝑏))
3130fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (abs‘(𝑦𝑥)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
3231oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
3329, 32breq12d 4596 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑎𝑥 = 𝑏) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
3433ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑎) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
35 dvlip.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
36 dvlip.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
37 iccssre 12126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3835, 36, 37syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39 dvlip.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
40 cncff 22504 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
42 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
43 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4442, 43anim12dan 878 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4541, 44sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑏) ∈ ℂ))
4645simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
4745simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
4846, 47abssubd 14040 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))))
49 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
5038, 49syl6ss 3580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
5150sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5251adantrl 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑏 ∈ ℂ)
5350sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑎 ∈ ℂ)
5453adantrr 749 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑎 ∈ ℂ)
5552, 54abssubd 14040 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (abs‘(𝑎𝑏)))
5655oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏))))
5748, 56breq12d 4596 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑎𝑏)))))
5841adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
59 simpr2 1061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6058, 59ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
61 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6258, 61ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
6360, 62subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0 ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
6463biimpar 501 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) = 0)
6564abs00bd 13879 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 0)
6638adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6766, 61sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6867rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6966, 59sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
7069rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
71 ioon0 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
73 dvlip.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ ℝ)
7569, 67resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
7735adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7877rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7936adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
80 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
8177, 79, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵)))
8261, 81mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑎𝑎𝐵))
8382simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑎)
84 iooss1 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑎) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8578, 83, 84syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝑏))
8679rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8877, 79, 87syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵)))
8959, 88mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑏𝑏𝐵))
9089simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝐵)
91 iooss2 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑏𝐵) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9286, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐴(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9385, 92sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
94 ssn0 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
9593, 94sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
96 n0 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
98 dvf 23477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
99 dvlip.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
10099feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
10198, 100mpbii 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
102101ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
103102abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
105102absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
106 dvlip.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
10797, 103, 104, 105, 106letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
108107ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
109108exlimdv 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 𝑀))
110109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝑀)
11196, 110sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
112111adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
11395, 112syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑀)
114 simpr3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
11569, 67subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (0 ≤ (𝑏𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
116114, 115mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑏𝑎))
11874, 76, 113, 117mulge0d 10483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
119118ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
12072, 119sylbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
12169recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
12267recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123121, 122subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑎))
124 equcom 1932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎𝑎 = 𝑏)
125123, 124syl6bb 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
126 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
12773adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
128127recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑀 ∈ ℂ)
129128mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · 0) = 0)
130129eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 = (𝑀 · 0))
131 eqle 10018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (𝑀 · 0)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
132126, 130, 131sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · 0))
133 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑎) = 0 → (𝑀 · (𝑏𝑎)) = (𝑀 · 0))
134133breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑎) = 0 → (0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)) ↔ 0 ≤ (𝑀 · 0)))
135132, 134syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑏𝑎) = 0 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
136125, 135sylbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 = 𝑏 → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
13767, 69leloed 10059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏)))
138114, 137mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
139120, 136, 138mpjaod 395 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
14165, 140eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
14260, 62subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
144143abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
145144recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
14675adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
147146recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
148138ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏))
149 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
150149eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
151148, 150syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (¬ 𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
152151necon1ad 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎) → 𝑎 < 𝑏))
153152imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 < 𝑏)
15467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ ℝ)
15569adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑏 ∈ ℝ)
156154, 155posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
157153, 156mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 < (𝑏𝑎))
158157gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑏𝑎) ≠ 0)
159145, 147, 158divrec2d 10684 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
160 iccss2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16161, 59, 160syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
163162sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16441ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
165164ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
166163, 165syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
167142ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
16863necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)))
169168biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
171166, 167, 170divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
172164, 162feqresmpt 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
173 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
174 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
175166, 172, 173, 174fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
176 ref 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
178177feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑥)))
179 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
180171, 175, 178, 179fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
18139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
182 rescncf 22508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎[,]𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ)))
183161, 181, 182sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
185 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
186185divccncf 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187143, 169, 186syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
188184, 187cncfco 22518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℂ))
189 recncf 22513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
191188, 190cncfco 22518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ ∘ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∘ (𝐹 ↾ (𝑎[,]𝑏)))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
192180, 191eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) ∈ ((𝑎[,]𝑏)–cn→ℝ))
19349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ⊆ ℂ)
194 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
195154, 155, 194syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ)
196171recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
197196recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏)) → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℂ)
198 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199198tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200 iccntr 22432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
20167, 69, 200syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
202201adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎[,]𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
203193, 195, 197, 199, 198, 202dvmptntr 23540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))))
204 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎[,]𝑏)
205204sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏))
206205, 171sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
207 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ V
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ V)
209 reelprrecn 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
211205, 166sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
21293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
213212sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
214101ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
215214ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
216213, 215syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
21738ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)
220198, 199dvres 23481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
221193, 164, 217, 219, 220syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))))
222 retop 22375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
223 iooretop 22379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
224 isopn3i 20696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏))
225222, 223, 224mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏)) = (𝑎(,)𝑏)
226225reseq2i 5314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))
227221, 226syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)))
228204, 162syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
229164, 228feqresmpt 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦)))
230229oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑎(,)𝑏))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))))
231101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
232231, 93fssresd 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)):(𝑎(,)𝑏)⟶ℂ)
233232feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
234233adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)))
235 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
236235mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
237234, 236syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑎(,)𝑏)) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
238227, 230, 2373eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
239210, 211, 216, 238, 143, 169dvmptdivc 23534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
240206, 208, 239dvmptre 23538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
241203, 240eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
242241dmeqd 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
243 dmmptg 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏))
244 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
245244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V)
246243, 245mprg 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑎(,)𝑏)
247242, 246syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → dom (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))) = (𝑎(,)𝑏))
248154, 155, 153, 192, 247mvth 23559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)))
249241fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥))
250 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
251250oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
252251fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
253 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
254 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
255252, 253, 254fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↦ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
256249, 255sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
257 ubicc2 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
25868, 70, 114, 257syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
259258ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26017oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
261260fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
262 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
263 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
264261, 262, 263fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
265259, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) = (ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
266 lbicc2 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26768, 70, 114, 266syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
268267ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏))
26926oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑎 → ((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
270269fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑎 → (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
271 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ V
272270, 262, 271fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (𝑎[,]𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
273268, 272syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎) = (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
274265, 273oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
27560adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
276275, 143, 169divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
27762adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
278277, 143, 169divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
279276, 278resubd 13804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))
280275, 277, 143, 169divsubdird 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
281143, 169dividd 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = 1)
282280, 281eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = 1)
283282fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = (ℜ‘1))
284 re1 13742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘1) = 1
285283, 284syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (ℜ‘(((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) − ((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
286279, 285eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
287286adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘((𝐹𝑏) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) − (ℜ‘((𝐹𝑎) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))) = 1)
288274, 287eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) = 1)
289288oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) = (1 / (𝑏𝑎)))
290256, 289eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
291290rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)((ℝ D (𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))))‘𝑥) = ((((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑏) − ((𝑦 ∈ (𝑎[,]𝑏) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))‘𝑎)) / (𝑏𝑎)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎))))
292248, 291mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)))
293212sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
294214ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
295293, 294syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
296142ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
297169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)) ≠ 0)
298295, 296, 297divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℂ)
299298recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
300144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
301299, 300remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
302295abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
303127ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑀 ∈ ℝ)
304298abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
305143absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
306305adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))))
307298releabsd 14038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
308299, 304, 300, 306, 307lemul1ad 10842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
309298, 296absmuld 14041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
310295, 296, 297divcan1d 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
311310fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) · ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
312309, 311eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
313308, 312breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
314106adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
315314adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
316293, 315syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
317301, 302, 303, 313, 316letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
318 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))))
319318breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → (((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
320317, 319syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
321320rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (∃𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)(ℜ‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) / ((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) = (1 / (𝑏𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀))
322292, 321mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((1 / (𝑏𝑎)) · (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎)))) ≤ 𝑀)
323159, 322eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → ((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀)
32473ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → 𝑀 ∈ ℝ)
325 ledivmul2 10781 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑏𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑏𝑎))) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
326144, 324, 146, 157, 325syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (((abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) / (𝑏𝑎)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎))))
327323, 326mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) ≠ (𝐹𝑎)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
328141, 327pm2.61dane 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (𝑏𝑎)))
32967, 69, 114abssubge0d 14018 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘(𝑏𝑎)) = (𝑏𝑎))
330329oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))) = (𝑀 · (𝑏𝑎)))
331328, 330breqtrrd 4611 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
33225, 34, 38, 57, 331wlogle 10440 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎))))
333332expcom 450 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑏) − (𝐹𝑎))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑏𝑎)))))
3348, 16, 333vtocl2ga 3247 . . 3 ((𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
335334ancoms 468 . 2 ((𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝜑 → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌)))))
336335impcom 445 1 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝑋) − (𝐹𝑌))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑋𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  cre 13685  abscabs 13822  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  fldccnfld 19567  Topctop 20517  intcnt 20631  cnccncf 22487   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by:  dvlipcn  23561  dvlip2  23562  dveq0  23567  dvfsumabs  23590  pige3  24073  lgamgulmlem2  24556
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