HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjnmopi 28391
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnmopi (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4 𝐻C
21pjfi 27947 . . 3 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
3 nmopval 28099 . . 3 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
42, 3ax-mp 5 . 2 (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 vex 3176 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
6 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
76anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
87rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
95, 8elab 3319 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
10 pjnorm 27967 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻C𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
111, 10mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
121pjhcli 27661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13 normcl 27366 . . . . . . . . . . . 12 (((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15 normcl 27366 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
16 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
17 letr 10010 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1816, 17mp3an3 1405 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1914, 15, 18syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2011, 19mpand 707 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ≤ 1 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2120imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2322biimparc 503 . . . . . . . 8 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2421, 23sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2524expl 646 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
2625rexlimiv 3009 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
279, 26sylbi 206 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
2827rgen 2906 . . 3 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
291cheli 27473 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻 → (norm𝑦) ∈ ℝ)
32 eqle 10018 . . . . . . . . . 10 (((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
3331, 32sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
34 pjid 27938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑦𝐻) → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
351, 34mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐻 → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
3635fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐻 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
38 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) = 1)
3937, 38eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))
4030, 33, 39jca32 556 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4140reximi2 2993 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
421chne0i 27696 . . . . . . . 8 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0)
431chshii 27468 . . . . . . . . 9 𝐻S
4443norm1exi 27491 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
4542, 44bitri 263 . . . . . . 7 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
46 1ex 9914 . . . . . . . 8 1 ∈ V
47 eqeq1 2614 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
4847anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4948rexbidv 3034 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
5046, 49elab 3319 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
5141, 45, 503imtr4i 280 . . . . . 6 (𝐻 ≠ 0 → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))})
52 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤𝑧 < 1))
5352rspcev 3282 . . . . . 6 ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5451, 53sylan 487 . . . . 5 ((𝐻 ≠ 0𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5554ex 449 . . . 4 (𝐻 ≠ 0 → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
5655ralrimivw 2950 . . 3 (𝐻 ≠ 0 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57 nmopsetretHIL 28107 . . . . . 6 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
582, 57ax-mp 5 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59 ressxr 9962 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3577 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
6116rexri 9976 . . . 4 1 ∈ ℝ*
62 supxr2 12016 . . . 4 ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6360, 61, 62mpanl12 714 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6428, 56, 63sylancr 694 . 2 (𝐻 ≠ 0 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
654, 64syl5eq 2656 1 (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  supcsup 8229  cr 9814  1c1 9816  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  chil 27160  normcno 27164  0c0v 27165   C cch 27170  0c0h 27176  projcpjh 27178  normopcnop 27186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-pjh 27638  df-nmop 28082
This theorem is referenced by:  pjbdlni  28392
  Copyright terms: Public domain W3C validator