MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqcld 12897
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqcl 12793 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6549  cr 9814  2c2 10947  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  cjmulge0  13734  sqrlem1  13831  sqrlem6  13836  sqrlem7  13837  absrele  13896  abstri  13918  amgm2  13957  sinbnd  14749  cosbnd  14750  cos01bnd  14755  cos01gt0  14760  absefi  14765  pythagtriplem10  15363  pockthg  15448  prmreclem1  15458  4sqlem12  15498  4sqlem15  15501  4sqlem16  15502  prmlem1  15652  prmlem2  15665  cphnmf  22803  reipcl  22805  ipcau2  22841  csbren  22990  trirn  22991  rrxmval  22996  rrxmet  22999  rrxdstprj1  23000  minveclem2  23005  minveclem3b  23007  minveclem3  23008  minveclem4  23011  minveclem6  23013  minveclem7  23014  pjthlem1  23016  itgabs  23407  dveflem  23546  tangtx  24061  tanregt0  24089  cxpsqrt  24249  lawcoslem1  24345  birthdaylem3  24480  cxp2limlem  24502  basellem8  24614  bposlem6  24814  2sqblem  24956  rplogsumlem2  24974  logdivsum  25022  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  vmalogdivsum2  25027  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  logdivbnd  25045  pntpbnd1a  25074  pntlemb  25086  pntlemr  25091  pntlemk  25095  pntlemo  25096  eqeelen  25584  brbtwn2  25585  colinearalglem4  25589  axcgrid  25596  axsegconlem2  25598  axsegconlem3  25599  axsegconlem9  25605  ax5seglem1  25608  ax5seglem2  25609  ax5seglem3  25611  ax5seg  25618  ipval2lem2  26943  minvecolem2  27115  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  minvecolem5  27121  minvecolem6  27122  minvecolem7  27123  normpyc  27387  pjhthlem1  27634  chscllem2  27881  pjssposi  28415  hstle1  28469  hst1h  28470  hstle  28473  hstoh  28475  strlem3a  28495  2sqmod  28979  sqsscirc1  29282  sinccvglem  30820  itgabsnc  32649  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirclem2  32671  areacirclem4  32673  areacirc  32675  cntotbnd  32765  rrnmet  32798  rrndstprj1  32799  rrndstprj2  32800  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  pell14qrgt0  36441  pell1qrgaplem  36455  rmspecnonsq  36490  rmspecpos  36499  jm3.1lem2  36603  sqrlearg  38627  dvdivbd  38813  stirlinglem10  38976  fourierdlem56  39055  fourierdlem57  39056  rrxdsfi  39181  rrxtopnfi  39182  rrndistlt  39186  hoiqssbllem2  39513  smfmullem1  39676
  Copyright terms: Public domain W3C validator