Theorem absge0d 14031

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 13875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  0cc0 9815   ≤ cle 9954  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14104  mulcn2  14174  o1mul  14193  o1rlimmul  14197  o1fsum  14386  cvgcmpce  14391  explecnv  14436  cvgrat  14454  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  efcllem  14647  eftlub  14678  sqnprm  15252  gzrngunitlem  19630  blcvx  22409  cnheibor  22562  cphsqrtcl2  22794  ipcau2  22841  trirn  22991  rrxdstprj1  23000  mbfi1fseqlem6  23293  iblabs  23401  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgabs  23407  bddmulibl  23411  itgcn  23415  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dveq0  23567  dv11cn  23568  plyeq0lem  23770  aalioulem3  23893  mtest  23962  radcnvlem1  23971  radcnvlem2  23972  radcnvlt1  23976  dvradcnv  23979  pserulm  23980  psercnlem2  23982  psercnlem1  23983  pserdvlem1  23985  pserdv  23987  abelthlem5  23993  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  tanregt0  24089  efif1olem3  24094  argregt0  24160  argrege0  24161  logtayllem  24205  logtayl  24206  abscxpbnd  24294  heron  24365  efrlim  24496  rlimcxp  24500  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  ftalem1  24599  ftalem4  24602  ftalem5  24603  lgsdirprm  24856  lgsdilem2  24858  lgsne0  24860  2sqblem  24956  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0lem2a  25006  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem2  25024  selberglem2  25035  selberg3lem2  25047  pntrsumbnd  25055  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntleml  25100  smcnlem  26936  nmoub3i  27012  nmfnge0  28170  sqsscirc2  29283  dnibndlem11  31648  knoppcnlem4  31656  unblimceq0lem  31667  unblimceq0  31668  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem18  31690  mblfinlem2  32617  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  itgabsnc  32649  bddiblnc  32650  ftc1anclem2  32656  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  ftc2nc  32664  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirclem2  32671  areacirclem4  32673  areacirclem5  32674  areacirc  32675  cntotbnd  32765  rrndstprj1  32799  rrndstprj2  32800  ismrer1  32807  pell14qrgt0  36441  radcnvrat  37535  dvconstbi  37555  binomcxplemnotnn0  37577  abslt2sqd  38517  dvdivbd  38813  dvbdfbdioolem1  38818  dvbdfbdioolem2  38819  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem47  39046  fourierdlem73  39072  fourierdlem77  39076  fourierdlem87  39086  etransclem23  39150  rrndistlt  39186  smfmullem1  39676  smfmullem2  39677  smfmullem3  39678