MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Unicode version

Theorem absge0d 13234
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 13079 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   CCcc 9486   0cc0 9488    <_ cle 9625   abscabs 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13307  mulcn2  13377  o1mul  13396  o1rlimmul  13400  o1fsum  13586  cvgcmpce  13591  explecnv  13635  cvgrat  13651  mertenslem1  13652  mertenslem2  13653  efcllem  13671  eftlub  13701  sqnprm  14094  gzrngunitlem  18250  blcvx  21038  cnheibor  21190  cphsqrtcl2  21368  ipcau2  21412  trirn  21562  rrxdstprj1  21571  mbfi1fseqlem6  21862  iblabs  21970  iblabsr  21971  iblmulc2  21972  itgabs  21976  bddmulibl  21980  itgcn  21984  dvlip  22129  dvlipcn  22130  dveq0  22136  dv11cn  22137  plyeq0lem  22342  aalioulem3  22464  mtest  22533  radcnvlem1  22542  radcnvlem2  22543  radcnvlt1  22547  dvradcnv  22550  pserulm  22551  psercnlem2  22553  psercnlem1  22554  pserdvlem1  22556  pserdv  22558  abelthlem5  22564  abelthlem7  22567  abelthlem8  22568  tanregt0  22659  efif1olem3  22664  argregt0  22723  argrege0  22724  logtayllem  22768  logtayl  22769  abscxpbnd  22855  heron  22897  efrlim  23027  rlimcxp  23031  ftalem1  23074  ftalem4  23077  ftalem5  23078  lgsdirprm  23332  lgsdilem2  23334  lgsne0  23336  2sqblem  23380  dchrisumlem2  23403  dchrmusum2  23407  dchrvmasumlem2  23411  dchrvmasumlem3  23412  dchrvmasumiflem1  23414  dchrisum0flblem1  23421  dchrisum0lem2a  23430  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  mulog2sumlem2  23448  selberglem2  23459  selberg3lem2  23471  pntrsumbnd  23479  pntrlog2bndlem1  23490  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  pntrlog2bnd  23497  pntleml  23524  smcnlem  25283  nmoub3i  25364  nmfnge0  26522  sqsscirc2  27527  lgamgulmlem2  28212  lgamgulmlem3  28213  lgamgulmlem5  28215  lgamcvg2  28237  mblfinlem2  29629  iblabsnc  29656  iblmulc2nc  29657  itgabsnc  29661  bddiblnc  29662  ftc1anclem2  29668  ftc1anclem4  29670  ftc1anclem5  29671  ftc1anclem6  29672  ftc1anclem7  29673  ftc1anclem8  29674  ftc1anc  29675  ftc2nc  29676  dvasin  29680  areacirclem1  29684  areacirclem2  29685  areacirclem4  29687  areacirclem5  29688  areacirc  29689  cntotbnd  29895  rrndstprj1  29929  rrndstprj2  29930  ismrer1  29937  pell14qrgt0  30399  dvconstbi  30839  dvdivbd  31253  dvbdfbdioolem1  31258  dvbdfbdioolem2  31259  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  fourierdlem30  31437  fourierdlem39  31446  fourierdlem45  31452  fourierdlem47  31454  fourierdlem73  31480  fourierdlem77  31484  fourierdlem87  31494
  Copyright terms: Public domain W3C validator