MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Unicode version

Theorem absge0d 13287
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 13132 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   CCcc 9507   0cc0 9509    <_ cle 9646   abscabs 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13360  mulcn2  13430  o1mul  13449  o1rlimmul  13453  o1fsum  13639  cvgcmpce  13644  explecnv  13688  cvgrat  13704  mertenslem1  13705  mertenslem2  13706  efcllem  13825  eftlub  13856  sqnprm  14251  gzrngunitlem  18609  blcvx  21429  cnheibor  21581  cphsqrtcl2  21759  ipcau2  21803  trirn  21953  rrxdstprj1  21962  mbfi1fseqlem6  22253  iblabs  22361  iblabsr  22362  iblmulc2  22363  itgabs  22367  bddmulibl  22371  itgcn  22375  dvlip  22520  dvlipcn  22521  dveq0  22527  dv11cn  22528  plyeq0lem  22733  aalioulem3  22856  mtest  22925  radcnvlem1  22934  radcnvlem2  22935  radcnvlt1  22939  dvradcnv  22942  pserulm  22943  psercnlem2  22945  psercnlem1  22946  pserdvlem1  22948  pserdv  22950  abelthlem5  22956  abelthlem7  22959  abelthlem8  22960  tanregt0  23052  efif1olem3  23057  argregt0  23121  argrege0  23122  logtayllem  23166  logtayl  23167  abscxpbnd  23253  heron  23295  efrlim  23425  rlimcxp  23429  ftalem1  23472  ftalem4  23475  ftalem5  23476  lgsdirprm  23730  lgsdilem2  23732  lgsne0  23734  2sqblem  23778  dchrisumlem2  23801  dchrmusum2  23805  dchrvmasumlem2  23809  dchrvmasumlem3  23810  dchrvmasumiflem1  23812  dchrisum0flblem1  23819  dchrisum0lem2a  23828  mudivsum  23841  mulogsumlem  23842  mulog2sumlem2  23846  selberglem2  23857  selberg3lem2  23869  pntrsumbnd  23877  pntrlog2bndlem1  23888  pntrlog2bndlem2  23889  pntrlog2bndlem3  23890  pntrlog2bndlem5  23892  pntrlog2bndlem6  23894  pntrlog2bnd  23895  pntleml  23922  smcnlem  25734  nmoub3i  25815  nmfnge0  26973  sqsscirc2  28052  lgamgulmlem2  28769  lgamgulmlem3  28770  lgamgulmlem5  28772  lgamcvg2  28794  mblfinlem2  30257  iblabsnc  30284  iblmulc2nc  30285  itgabsnc  30289  bddiblnc  30290  ftc1anclem2  30296  ftc1anclem4  30298  ftc1anclem5  30299  ftc1anclem6  30300  ftc1anclem7  30301  ftc1anclem8  30302  ftc1anc  30303  ftc2nc  30304  dvasin  30308  areacirclem1  30312  areacirclem2  30313  areacirclem4  30315  areacirclem5  30316  areacirc  30317  cntotbnd  30497  rrndstprj1  30531  rrndstprj2  30532  ismrer1  30539  pell14qrgt0  30999  radcnvrat  31399  dvconstbi  31443  binomcxplemnotnn0  31465  dvdivbd  31923  dvbdfbdioolem1  31928  dvbdfbdioolem2  31929  ioodvbdlimc1lem1  31931  ioodvbdlimc1lem2  31932  ioodvbdlimc2lem  31934  fourierdlem30  32122  fourierdlem39  32131  fourierdlem47  32139  fourierdlem73  32165  fourierdlem77  32169  fourierdlem87  32179  etransclem23  32243
  Copyright terms: Public domain W3C validator