MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem absge0d 13506
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 13350 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   CCcc 9537   0cc0 9539    <_ cle 9676   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13589  mulcn2  13659  o1mul  13678  o1rlimmul  13682  o1fsum  13873  cvgcmpce  13878  explecnv  13923  cvgrat  13939  mertenslem1  13940  mertenslem2  13941  efcllem  14132  eftlub  14163  sqnprm  14646  gzrngunitlem  19032  blcvx  21816  cnheibor  21983  cphsqrtcl2  22164  ipcau2  22208  trirn  22354  rrxdstprj1  22363  mbfi1fseqlem6  22678  iblabs  22786  iblabsr  22787  iblmulc2  22788  itgabs  22792  bddmulibl  22796  itgcn  22800  dvlip  22945  dvlipcn  22946  dveq0  22952  dv11cn  22953  plyeq0lem  23164  aalioulem3  23290  mtest  23359  radcnvlem1  23368  radcnvlem2  23369  radcnvlt1  23373  dvradcnv  23376  pserulm  23377  psercnlem2  23379  psercnlem1  23380  pserdvlem1  23382  pserdv  23384  abelthlem5  23390  abelthlem7  23393  abelthlem8  23394  tanregt0  23488  efif1olem3  23493  argregt0  23559  argrege0  23560  logtayllem  23604  logtayl  23605  abscxpbnd  23693  heron  23764  efrlim  23895  rlimcxp  23899  lgamgulmlem2  23955  lgamgulmlem3  23956  lgamgulmlem5  23958  lgamcvg2  23980  ftalem1  23997  ftalem4  24000  ftalem5  24001  ftalem4OLD  24002  ftalem5OLD  24003  lgsdirprm  24257  lgsdilem2  24259  lgsne0  24261  2sqblem  24305  dchrisumlem2  24328  dchrmusum2  24332  dchrvmasumlem2  24336  dchrvmasumlem3  24337  dchrvmasumiflem1  24339  dchrisum0flblem1  24346  dchrisum0lem2a  24355  mudivsum  24368  mulogsumlem  24369  mulog2sumlem2  24373  selberglem2  24384  selberg3lem2  24396  pntrsumbnd  24404  pntrlog2bndlem1  24415  pntrlog2bndlem2  24416  pntrlog2bndlem3  24417  pntrlog2bndlem5  24419  pntrlog2bndlem6  24421  pntrlog2bnd  24422  pntleml  24449  smcnlem  26333  nmoub3i  26414  nmfnge0  27580  sqsscirc2  28715  mblfinlem2  31978  iblabsnc  32006  iblmulc2nc  32007  itgabsnc  32011  bddiblnc  32012  ftc1anclem2  32018  ftc1anclem4  32020  ftc1anclem5  32021  ftc1anclem6  32022  ftc1anclem7  32023  ftc1anclem8  32024  ftc1anc  32025  ftc2nc  32026  dvasin  32028  areacirclem1  32032  areacirclem2  32033  areacirclem4  32035  areacirclem5  32036  areacirc  32037  cntotbnd  32128  rrndstprj1  32162  rrndstprj2  32163  ismrer1  32170  pell14qrgt0  35705  radcnvrat  36663  dvconstbi  36683  binomcxplemnotnn0  36705  abslt2sqd  37583  dvdivbd  37795  dvbdfbdioolem1  37800  dvbdfbdioolem2  37801  ioodvbdlimc1lem1  37803  ioodvbdlimc1lem2  37804  ioodvbdlimc1lem1OLD  37805  ioodvbdlimc1lem2OLD  37806  ioodvbdlimc2lem  37808  ioodvbdlimc2lemOLD  37809  fourierdlem30  37999  fourierdlem39  38009  fourierdlem47  38017  fourierdlem73  38043  fourierdlem77  38047  fourierdlem87  38057  etransclem23  38122  rrndistlt  38159
  Copyright terms: Public domain W3C validator