MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Unicode version

Theorem absge0d 12913
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 12759 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   CCcc 9267   0cc0 9269    <_ cle 9406   abscabs 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12986  mulcn2  13056  o1mul  13075  o1rlimmul  13079  o1fsum  13258  cvgcmpce  13263  explecnv  13309  cvgrat  13325  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  efcllem  13345  eftlub  13375  sqnprm  13766  gzrngunitlem  17720  blcvx  20216  cnheibor  20368  cphsqrcl2  20546  ipcau2  20590  trirn  20740  rrxdstprj1  20749  mbfi1fseqlem6  21039  iblabs  21147  iblabsr  21148  iblmulc2  21149  itgabs  21153  bddmulibl  21157  itgcn  21161  dvlip  21306  dvlipcn  21307  dveq0  21313  dv11cn  21314  plyeq0lem  21562  aalioulem3  21684  mtest  21753  radcnvlem1  21762  radcnvlem2  21763  radcnvlt1  21767  dvradcnv  21770  pserulm  21771  psercnlem2  21773  psercnlem1  21774  pserdvlem1  21776  pserdv  21778  abelthlem5  21784  abelthlem7  21787  abelthlem8  21788  tanregt0  21879  efif1olem3  21884  argregt0  21943  argrege0  21944  logtayllem  21988  logtayl  21989  abscxpbnd  22075  heron  22117  efrlim  22247  rlimcxp  22251  ftalem1  22294  ftalem4  22297  ftalem5  22298  lgsdirprm  22552  lgsdilem2  22554  lgsne0  22556  2sqblem  22600  dchrisumlem2  22623  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem2  22631  dchrvmasumlem3  22632  dchrvmasumiflem1  22634  dchrisum0flblem1  22641  dchrisum0lem2a  22650  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulog2sumlem2  22668  selberglem2  22679  selberg3lem2  22691  pntrsumbnd  22699  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntleml  22744  smcnlem  23914  nmoub3i  23995  nmfnge0  25153  sqsscirc2  26192  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem5  26866  lgamcvg2  26888  mblfinlem2  28270  iblabsnc  28297  iblmulc2nc  28298  itgabsnc  28302  bddiblnc  28303  ftc1anclem2  28309  ftc1anclem4  28311  ftc1anclem5  28312  ftc1anclem6  28313  ftc1anclem7  28314  ftc1anclem8  28315  ftc1anc  28316  ftc2nc  28317  dvasin  28321  areacirclem1  28325  areacirclem2  28326  areacirclem4  28328  areacirclem5  28329  areacirc  28330  cntotbnd  28536  rrndstprj1  28570  rrndstprj2  28571  ismrer1  28578  pell14qrgt0  29042  dvconstbi  29450
  Copyright terms: Public domain W3C validator