MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Unicode version

Theorem absge0d 12922
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 12768 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   CCcc 9272   0cc0 9274    <_ cle 9411   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12995  mulcn2  13065  o1mul  13084  o1rlimmul  13088  o1fsum  13268  cvgcmpce  13273  explecnv  13319  cvgrat  13335  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  efcllem  13355  eftlub  13385  sqnprm  13776  gzrngunitlem  17857  blcvx  20355  cnheibor  20507  cphsqrcl2  20685  ipcau2  20729  trirn  20879  rrxdstprj1  20888  mbfi1fseqlem6  21178  iblabs  21286  iblabsr  21287  iblmulc2  21288  itgabs  21292  bddmulibl  21296  itgcn  21300  dvlip  21445  dvlipcn  21446  dveq0  21452  dv11cn  21453  plyeq0lem  21658  aalioulem3  21780  mtest  21849  radcnvlem1  21858  radcnvlem2  21859  radcnvlt1  21863  dvradcnv  21866  pserulm  21867  psercnlem2  21869  psercnlem1  21870  pserdvlem1  21872  pserdv  21874  abelthlem5  21880  abelthlem7  21883  abelthlem8  21884  tanregt0  21975  efif1olem3  21980  argregt0  22039  argrege0  22040  logtayllem  22084  logtayl  22085  abscxpbnd  22171  heron  22213  efrlim  22343  rlimcxp  22347  ftalem1  22390  ftalem4  22393  ftalem5  22394  lgsdirprm  22648  lgsdilem2  22650  lgsne0  22652  2sqblem  22696  dchrisumlem2  22719  dchrmusum2  22723  dchrvmasumlem2  22727  dchrvmasumlem3  22728  dchrvmasumiflem1  22730  dchrisum0flblem1  22737  dchrisum0lem2a  22746  mudivsum  22759  mulogsumlem  22760  mulog2sumlem2  22764  selberglem2  22775  selberg3lem2  22787  pntrsumbnd  22795  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bndlem3  22808  pntrlog2bndlem5  22810  pntrlog2bndlem6  22812  pntrlog2bnd  22813  pntleml  22840  smcnlem  24060  nmoub3i  24141  nmfnge0  25299  sqsscirc2  26308  lgamgulmlem2  26985  lgamgulmlem3  26986  lgamgulmlem5  26988  lgamcvg2  27010  mblfinlem2  28400  iblabsnc  28427  iblmulc2nc  28428  itgabsnc  28432  bddiblnc  28433  ftc1anclem2  28439  ftc1anclem4  28441  ftc1anclem5  28442  ftc1anclem6  28443  ftc1anclem7  28444  ftc1anclem8  28445  ftc1anc  28446  ftc2nc  28447  dvasin  28451  areacirclem1  28455  areacirclem2  28456  areacirclem4  28458  areacirclem5  28459  areacirc  28460  cntotbnd  28666  rrndstprj1  28700  rrndstprj2  28701  ismrer1  28708  pell14qrgt0  29171  dvconstbi  29579
  Copyright terms: Public domain W3C validator