MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 12201
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 12047 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   CCcc 8944   0cc0 8946    <_ cle 9077   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12274  mulcn2  12344  o1mul  12363  o1rlimmul  12367  o1fsum  12547  cvgcmpce  12552  explecnv  12599  cvgrat  12615  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  efcllem  12635  eftlub  12665  sqnprm  13053  gzrngunitlem  16718  blcvx  18782  cnheibor  18933  cphsqrcl2  19102  ipcau2  19144  mbfi1fseqlem6  19565  iblabs  19673  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgabs  19679  bddmulibl  19683  itgcn  19687  dvlip  19830  dvlipcn  19831  dveq0  19837  dv11cn  19838  plyeq0lem  20082  aalioulem3  20204  mtest  20273  radcnvlem1  20282  radcnvlem2  20283  radcnvlt1  20287  dvradcnv  20290  pserulm  20291  psercnlem2  20293  psercnlem1  20294  pserdvlem1  20296  pserdv  20298  abelthlem5  20304  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  tanregt0  20394  efif1olem3  20399  argregt0  20458  argrege0  20459  logtayllem  20503  logtayl  20504  abscxpbnd  20590  efrlim  20761  rlimcxp  20765  ftalem1  20808  ftalem4  20811  ftalem5  20812  lgsdirprm  21066  lgsdilem2  21068  lgsne0  21070  2sqblem  21114  dchrisumlem2  21137  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0lem2a  21164  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulog2sumlem2  21182  selberglem2  21193  selberg3lem2  21205  pntrsumbnd  21213  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntleml  21258  smcnlem  22146  nmoub3i  22227  nmfnge0  23383  sqsscirc2  24260  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgamcvg2  24792  mblfinlem  26143  iblabsnc  26168  iblmulc2nc  26169  itgabsnc  26173  bddiblnc  26174  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirclem4  26183  areacirclem5  26185  areacirclem6  26186  areacirc  26187  trirn  26347  cntotbnd  26395  rrndstprj1  26429  rrndstprj2  26430  ismrer1  26437  pell14qrgt0  26812  dvconstbi  27419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
  Copyright terms: Public domain W3C validator