Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcxp 24500
 Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcxp.1 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimcxp.2 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rlimcxp (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcxp.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2 rlimf 14080 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 rlimcxp.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5549 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 5944 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑛𝐴𝐵) = (𝑛𝐴𝐵)
1110fmpt 6289 . . . . . . 7 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15 rlimcxp.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1716rprecred 11759 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
1814, 17rpcxpcld 24276 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
191adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2013, 18, 19rlimi 14092 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
214, 1rlimmptrcl 14186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322abscld 14023 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2422absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
2518adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
2625rpred 11748 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
2725rpge0d 11752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝑥𝑐(1 / 𝐶)))
2815ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
2923, 24, 26, 27, 28cxplt2d 24272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
3022subid1d 10260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
3130fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
3231breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
3328rpred 11748 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34 abscxp2 24239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3522, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3628rpcnd 11750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3728rpne0d 11753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3836, 37recid2d 10676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
3938oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥𝑐1))
40 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4240, 41, 36cxpmuld 24280 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4340rpcnd 11750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443cxp1d 24252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
4539, 42, 443eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4635, 45breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
4729, 32, 463bitr4d 299 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4847biimpd 218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4948imim2d 55 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5049ralimdva 2945 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5150reximdv 2999 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5220, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5352ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5415rpcnd 11750 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5621, 55cxpcld 24254 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
5756ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58 rlimss 14081 . . . . 5 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
607, 59eqsstr3d 3603 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6157, 60rlim0 14087 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
6253, 61mpbird 246 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ⇝𝑟 crli 14064  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  cxp2lim  24503  cxploglim2  24505
 Copyright terms: Public domain W3C validator