Theorem dv11cn 23568

Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dv11cn.x	⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d	⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
dv11cn.p	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
dv11cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dv11cn.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
4		dv11cn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
5		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑋)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
7		dv11cn.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
8		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
11		inidm 3784	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
12	3, 6, 10, 10, 11	offn 6806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) Fn 𝑋)
13		0cn 9911	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6006	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
16		subcl 10159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
18	17, 1, 4, 10, 10, 11	off 6810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺):𝑋⟶ℂ)
19	18	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
20		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		dv11cn.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23	20, 22	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
24		cnxmet 22386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
26		dv11cn.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27		dv11cn.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
28		blssm 22033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
30	7, 29	syl5eqss 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
31	1	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
32	4	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
33	1	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
34	4	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
35	10, 31, 32, 33, 34	offval2 6812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
36	35	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
37		cnelprrecn 9908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
39		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
41	33	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
42		dvfcn 23478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
43		dv11cn.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
44	43	feq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
45	42, 44	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
46	45	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
47	41, 46	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
48		dv11cn.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
49	34	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
50	48, 46, 49	3eqtr3rd 2653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
51	38, 31, 40, 47, 32, 40, 50	dvmptsub 23536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
52	45	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
53	52	subidd 10259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
54	53	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
55		fconstmpt 5085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
56	54, 55	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
57	36, 51, 56	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = (𝑋 × {0}))
58	57	dmeqd 5248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
59		snnzg 4251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
60		dmxp 5265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
61	13, 59, 60	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
62	58, 61	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = 𝑋)
63		eqimss2 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
65		0red 9920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66	57	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
67		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
68	67	fvconst2 6374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
69	66, 68	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥) = 0)
70	69	abs00bd 13879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥)) = 0)
71		0le0 10987	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
72	70, 71	syl6eqbr 4622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
73	30, 18, 26, 27, 7, 64, 65, 72	dvlipcn 23561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
74	23, 73	syldan 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
75	35	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶))
76		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
77		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐶))
78	76, 77	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
79		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
80		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) ∈ V
81	78, 79, 80	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
82	21, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
83	1, 21	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
84		dv11cn.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
85	83, 84	subeq0bd 10335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) = 0)
86	75, 82, 85	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = 0)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = 0)
88	87	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − 0))
89	19	subid1d 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥))
90	88, 89	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥))
91	90	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))
92	30	sselda 3568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
93	30, 21	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
95	92, 94	subcld 10271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
96	95	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
98	97	mul02d 10113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))) = 0)
99	74, 91, 98	3brtr3d 4614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
100	19	absge0d 14031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))
101	19	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
102		0re 9919	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
103		letri3 10002	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))))
104	101, 102, 103	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))))
105	99, 100, 104	mpbir2and 959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0)
106	19, 105	abs00d 14033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = 0)
107	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
108	106, 107	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
109	12, 15, 108	eqfnfvd 6222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}))
110		ofsubeq0 10894	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
111	10, 1, 4, 110	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
112	109, 111	mpbid 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  abscabs 13822  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554   D cdv 23433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  logtayl  24206  binomcxplemnotnn0  37577