Theorem off 6810

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2		off.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
3		inss1 3795	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
4	2, 3	eqsstr3i 3599	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3564	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
6		ffvelrn 6265	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
8		off.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
9		inss2 3796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
10	2, 9	eqsstr3i 3599	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
11	10	sseli 3564	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
12		ffvelrn 6265	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
13	8, 11, 12	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
14		off.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	ralrimivva 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
17		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑧) → (𝑥𝑅𝑦) = ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦))
18	17	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈))
19		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)))
20	19	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈))
21	18, 20	rspc2va 3294	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
22	7, 13, 16, 21	syl21anc 1317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
23		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)))
24	22, 23	fmptd 6292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))):𝐶⟶𝑈)
25		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑆 → 𝐹 Fn 𝐴)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
27		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝑇 → 𝐺 Fn 𝐵)
28	8, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
29		off.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30		off.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
31		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
32		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
33	26, 28, 29, 30, 2, 31, 32	offval 6802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
34	33	feq1d 5943	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈 ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))):𝐶⟶𝑈))
35	24, 34	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795

This theorem is referenced by:  o1of2  14191  ghmplusg  18072  gsumzaddlem  18144  gsumzadd  18145  lcomf  18725  psrbagaddcl  19191  psraddcl  19204  psrvscacl  19214  psrbagev1  19331  evlslem3  19335  frlmup1  19956  mndvcl  20016  tsmsadd  21760  mbfmulc2lem  23220  mbfaddlem  23233  i1fadd  23268  i1fmul  23269  itg1addlem4  23272  i1fmulclem  23275  i1fmulc  23276  mbfi1flimlem  23295  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  itg2monolem1  23323  itg2addlem  23331  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvaddf  23511  dvmulf  23512  dv11cn  23568  plyaddlem  23775  coeeulem  23784  coeaddlem  23809  plydivlem4  23855  jensenlem2  24514  jensen  24515  basellem7  24613  basellem9  24615  dchrmulcl  24774  ofrn  28821  sibfof  29729  signshf  29991  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  itg2addnc  32634  ftc1anclem3  32657  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem8  32662  lfladdcl  33376  lflvscl  33382  mzpclall  36308  mzpindd  36327  expgrowth  37556  binomcxplemnotnn0  37577  dvdivcncf  38817  ofaddmndmap  41915  amgmwlem  42357