MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyaddlem 23775
Description: Lemma for plyadd 23777. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyadd.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyadd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 plyadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 23754 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 9912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 3751 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 9896 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
12 ssexg 4732 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11175 . . . . . . 7 0 ∈ V
15 elmapg 7757 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 5970 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 plyadd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 elmapg 7757 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2113, 14, 20sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2219, 21mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
2322, 10fssd 5970 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24 plyadd.a2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
27 plyadd.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plyaddlem1 23773 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
294, 3ifcld 4081 . . . 4 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
30 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 11203 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3314a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
34 inidm 3784 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
3532, 17, 22, 33, 33, 34off 6810 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
36 elfznn0 12302 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37 ffvelrn 6265 . . . . 5 (((𝐴𝑓 + 𝐵):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3835, 36, 37syl2an 493 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3910, 29, 38elplyd 23762 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4028, 39eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41 plyun0 23757 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4240, 41syl6eleq 2698 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cima 5041  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  𝑚 cmap 7744  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  0cn0 11169  cuz 11563  ...cfz 12197  cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ply 23748
This theorem is referenced by:  plyadd  23777
  Copyright terms: Public domain W3C validator