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Theorem o1of2 14191
 Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
o1of2.3 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 14108 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 o1bdd 14110 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
31, 2mpdan 699 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
43adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
5 o1f 14108 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6 o1bdd 14110 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
75, 6mpdan 699 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
87adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
9 reeanv 3086 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
10 reeanv 3086 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
11 inss1 3795 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
12 ssralv 3629 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
14 inss2 3796 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
15 ssralv 3629 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
1713, 16anim12i 588 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
18 r19.26 3046 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1917, 18sylibr 223 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
20 prth 593 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
21 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 14109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2625ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2711, 26syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
2827sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 11896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3130biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
321ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3311sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
365ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
3714sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3936, 37, 38syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4140ralrimivva 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4241ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
43 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4443breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
4544anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)))
46 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (𝑥𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅𝑦))
4746fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)))
4847breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4945, 48imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)))
50 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐺𝑧)))
5150breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑛 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
5251anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
53 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
5453fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
5554breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5652, 55imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀)))
5749, 56rspc2va 3294 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5835, 39, 42, 57syl21anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
59 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6032, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
61 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
63 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
64 ssexg 4732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
6526, 63, 64sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ∈ V)
66 dmexg 6989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐺 ∈ V)
6766ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐺 ∈ V)
68 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
69 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
70 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
7271fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
7372breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
7458, 73sylibrd 248 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀))
7531, 74imim12d 79 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7620, 75syl5 33 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7776ralimdva 2945 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6810 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
8123, 21ifcld 4081 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
82 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8382adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
84 elo12r 14107 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
85843expia 1259 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8680, 27, 81, 83, 85syl22anc 1319 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8777, 86syld 46 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8819, 87syl5 33 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8988rexlimdvva 3020 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
9010, 89syl5bir 232 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
9190rexlimdvva 3020 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
929, 91syl5bir 232 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
934, 8, 92mp2and 711 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  abscabs 13822  𝑂(1)co1 14065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-o1 14069 This theorem is referenced by:  o1add  14192  o1mul  14193  o1sub  14194
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