Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 19331
 Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18031 . . . . 5 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
5 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
64, 5mulgnn0cl 17381 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
763expb 1258 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
83, 7sylan 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
10 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
11 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1211psrbagf 19186 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
139, 10, 12syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
15 inidm 3784 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6810 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovex 6577 . . . 4 (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V)
19 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐵:𝐼⟶ℕ0𝐵 Fn 𝐼)
2013, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
21 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐺:𝐼𝐶𝐺 Fn 𝐼)
2214, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
2320, 22, 9, 9, 15offn 6806 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
24 fnfun 5902 . . . 4 ((𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
26 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
27 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑇) ∈ V
2826, 27eqeltri 2684 . . . 4 0 ∈ V
2928a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
3011psrbagfsupp 19330 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
3110, 9, 30syl2anc 691 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
3231fsuppimpd 8165 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
33 ssid 3587 . . . . 5 (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
354, 26, 5mulg0 17369 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
3635adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
37 c0ex 9913 . . . . 5 0 ∈ V
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3934, 36, 13, 14, 9, 38suppssof1 7215 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
40 suppssfifsupp 8173 . . 3 ((((𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4118, 25, 29, 32, 39, 40syl32anc 1326 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4216, 41jca 553 1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  psrbagev2  19332  evlslem1  19336
 Copyright terms: Public domain W3C validator