Theorem psrbagev1 19331

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18031	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 17381	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1258	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 19186	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 3784	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 6810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
19		ffn 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝐼⟶ℕ0 → 𝐵 Fn 𝐼)
20	13, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
21		ffn 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐶 → 𝐺 Fn 𝐼)
22	14, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
23	20, 22, 9, 9, 15	offn 6806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
24		fnfun 5902	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
26		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
27		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) ∈ V
28	26, 27	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	11	psrbagfsupp 19330	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
31	10, 9, 30	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
32	31	fsuppimpd 8165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
33		ssid 3587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
35	4, 26, 5	mulg0 17369	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
37		c0ex 9913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
39	34, 36, 13, 14, 9, 38	suppssof1 7215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
40		suppssfifsupp 8173	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
41	18, 25, 29, 32, 39, 40	syl32anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
42	16, 41	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   supp csupp 7182   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  ._gcmg 17363  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  psrbagev2  19332  evlslem1  19336