Theorem mulgnn0cl 17381

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2610	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssid 3587	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
7	1, 3	mndcl 17124	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8		eqid 2610	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	1, 8	mndidcl 17131	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	mulgnn0subcl 17377	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  ._gcmg 17363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17394  mulgnn0ass  17401  mhmmulg  17406  pwsmulg  17410  odmodnn0  17782  mulgmhm  18056  srgmulgass  18354  srgpcomp  18355  srgpcompp  18356  srgpcomppsc  18357  srgbinomlem1  18363  srgbinomlem2  18364  srgbinomlem4  18366  srgbinomlem  18367  lmodvsmmulgdi  18721  assamulgscmlem2  19170  mplcoe5lem  19288  mplcoe5  19289  psrbagev1  19331  evlslem3  19335  ply1moncl  19462  coe1pwmul  19470  ply1coefsupp  19486  ply1coe  19487  gsummoncoe1  19495  lply1binomsc  19498  evl1expd  19530  evl1scvarpw  19548  evl1scvarpwval  19549  evl1gsummon  19550  pmatcollpwscmatlem1  20413  mply1topmatcllem  20427  mply1topmatcl  20429  pm2mpghm  20440  monmat2matmon  20448  pm2mp  20449  chpscmatgsumbin  20468  chpscmatgsummon  20469  chfacfscmulcl  20481  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmulcl  20485  chfacfpmmul0  20486  cpmadugsumlemB  20498  cpmadugsumlemC  20499  cpmadugsumlemF  20500  cayhamlem2  20508  cayhamlem4  20512  deg1pw  23684  plypf1  23772  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgsqrlem4  24874  omndmul2  29043  omndmul3  29044  omndmul  29045  isarchi2  29070  hbtlem4  36715  lmodvsmdi  41957  ply1mulgsumlem4  41971  ply1mulgsum  41972