MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0cl 15765
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 ssid 3486 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
71, 3mndcl 15542 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8mndidcl 15561 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9mulgnn0subcl 15762 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   NN0cn0 10693   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   Mndcmnd 15531  .gcmg 15536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-seq 11927  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-mulg 15670
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  15772  mulgnn0ass  15778  mhmmulg  15781  pwsmulg  15791  odmodnn0  16167  mulgmhm  16439  srgmulgass  16755  srgpcomp  16756  srgpcompp  16757  srgpcomppsc  16758  srgbinomlem1  16764  srgbinomlem2  16765  srgbinomlem4  16767  srgbinomlem  16768  mplcoe5lem  17674  mplcoe5  17675  mplcoe2OLD  17677  psrbagev1  17721  psrbagev1OLD  17722  evlslem3  17727  ply1moncl  17851  coe1pwmul  17859  ply1coefsupp  17873  ply1coe  17874  ply1coeOLD  17875  evl1expd  17907  evl1scvarpw  17925  evl1scvarpwval  17926  evl1gsummon  17927  deg1pwle  21727  deg1pw  21728  plypf1  21816  lgsqrlem2  22817  lgsqrlem3  22818  lgsqrlem4  22819  omndmul2  26340  omndmul3  26341  omndmul  26342  isarchi2  26367  hbtlem4  29650  lmodvsmdi  30987  lmodvsmmulgdi  30988  assamulgscmlem2  30996  mon1ply1  31013  gsummoncoe1  31016  ply1mulgsumlem4  31021  ply1mulgsum  31022  lply1binomsc  31030  pmatcollpwscmatlem1  31296  mply1topmatcllem  31310  mply1topmatcl  31312  pm2mpghm  31323  monmat2matmon  31330  pm2mp  31331  cpscmatgsumbin  31350  cpscmatgsummon  31351  chfacfscmulcl  31363  chfacfscmul0  31364  chfacfpmmulcl  31367  chfacfpmmul0  31368  cpmadugsumlemB  31380  cpmadugsumlemC  31381  cpmadugsumlemF  31382  cayhamlem2  31391  cayhamlem4  31395
  Copyright terms: Public domain W3C validator