MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0cl 15634
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2438 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 ssid 3370 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
71, 3mndcl 15412 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2438 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8mndidcl 15431 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9mulgnn0subcl 15631 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Mndcmnd 15401  .gcmg 15406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-mulg 15539
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  15641  mulgnn0ass  15647  mhmmulg  15650  pwsmulg  15660  odmodnn0  16034  mulgmhm  16306  srgmulgass  16618  srgpcomp  16619  srgpcompp  16620  srgpcomppsc  16621  srgbinomlem1  16626  srgbinomlem2  16627  srgbinomlem4  16629  srgbinomlem  16630  mplcoe2  17524  mplcoe2OLD  17525  psrbagev1  17569  psrbagev1OLD  17570  evlslem3  17575  ply1tmcl  17700  coe1pwmul  17707  ply1coefsupp  17720  ply1coe  17721  ply1coeOLD  17722  evl1expd  17754  evl1scvarpw  17772  evl1scvarpwval  17773  evl1gsummon  17774  deg1pwle  21566  deg1pw  21567  plypf1  21655  lgsqrlem2  22656  lgsqrlem3  22657  lgsqrlem4  22658  omndmul2  26126  omndmul3  26127  omndmul  26128  isarchi2  26153  hbtlem4  29435  lmodvsmdi  30751  lmodvsmmulgdi  30752  assamulgscmlem2  30760  ply1moncl  30765  lply1binomsc  30775  pmatcollpw1lem4  30817  pmatcollpw1  30819  pmatcollpw2lem  30820  pmatcollpw2  30821
  Copyright terms: Public domain W3C validator