MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0cl 16725
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2429 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 23 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 ssid 3489 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
71, 3mndcl 16496 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2429 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8mndidcl 16505 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9mulgnn0subcl 16722 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   Mndcmnd 16486  .gcmg 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mulg 16627
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  16732  mulgnn0ass  16738  mhmmulg  16741  pwsmulg  16751  odmodnn0  17131  mulgmhm  17403  srgmulgass  17699  srgpcomp  17700  srgpcompp  17701  srgpcomppsc  17702  srgbinomlem1  17708  srgbinomlem2  17709  srgbinomlem4  17711  srgbinomlem  17712  lmodvsmmulgdi  18061  assamulgscmlem2  18508  mplcoe5lem  18626  mplcoe5  18627  psrbagev1  18668  evlslem3  18672  ply1moncl  18799  coe1pwmul  18807  ply1coefsupp  18823  ply1coe  18824  ply1coeOLD  18825  gsummoncoe1  18833  lply1binomsc  18836  evl1expd  18868  evl1scvarpw  18886  evl1scvarpwval  18887  evl1gsummon  18888  pmatcollpwscmatlem1  19744  mply1topmatcllem  19758  mply1topmatcl  19760  pm2mpghm  19771  monmat2matmon  19779  pm2mp  19780  chpscmatgsumbin  19799  chpscmatgsummon  19800  chfacfscmulcl  19812  chfacfscmul0  19813  chfacfpmmulcl  19816  chfacfpmmul0  19817  cpmadugsumlemB  19829  cpmadugsumlemC  19830  cpmadugsumlemF  19831  cayhamlem2  19839  cayhamlem4  19843  deg1pw  22946  plypf1  23034  lgsqrlem2  24133  lgsqrlem3  24134  lgsqrlem4  24135  omndmul2  28313  omndmul3  28314  omndmul  28315  isarchi2  28340  hbtlem4  35690  lmodvsmdi  38926  ply1mulgsumlem4  38940  ply1mulgsum  38941
  Copyright terms: Public domain W3C validator