MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Unicode version

Theorem mulgnn0cl 15965
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  Mnd )
5 ssid 3523 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  C_  B )
71, 3mndcl 15736 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2467 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8mndidcl 15755 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9mulgnn0subcl 15962 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   NN0cn0 10794   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   Mndcmnd 15725  .gcmg 15730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-seq 12075  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-mulg 15867
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  15972  mulgnn0ass  15978  mhmmulg  15981  pwsmulg  15991  odmodnn0  16367  mulgmhm  16639  srgmulgass  16979  srgpcomp  16980  srgpcompp  16981  srgpcomppsc  16982  srgbinomlem1  16988  srgbinomlem2  16989  srgbinomlem4  16991  srgbinomlem  16992  lmodvsmmulgdi  17342  assamulgscmlem2  17785  mplcoe5lem  17917  mplcoe5  17918  mplcoe2OLD  17920  psrbagev1  17964  psrbagev1OLD  17965  evlslem3  17970  ply1moncl  18099  coe1pwmul  18107  ply1coefsupp  18123  ply1coe  18124  ply1coeOLD  18125  gsummoncoe1  18133  lply1binomsc  18136  evl1expd  18168  evl1scvarpw  18186  evl1scvarpwval  18187  evl1gsummon  18188  pmatcollpwscmatlem1  19073  mply1topmatcllem  19087  mply1topmatcl  19089  pm2mpghm  19100  monmat2matmon  19108  pm2mp  19109  chpscmatgsumbin  19128  chpscmatgsummon  19129  chfacfscmulcl  19141  chfacfscmul0  19142  chfacfpmmulcl  19145  chfacfpmmul0  19146  cpmadugsumlemB  19158  cpmadugsumlemC  19159  cpmadugsumlemF  19160  cayhamlem2  19168  cayhamlem4  19172  deg1pwle  22271  deg1pw  22272  plypf1  22360  lgsqrlem2  23361  lgsqrlem3  23362  lgsqrlem4  23363  omndmul2  27380  omndmul3  27381  omndmul  27382  isarchi2  27407  hbtlem4  30695  lmodvsmdi  32065  ply1mulgsumlem4  32079  ply1mulgsum  32080
  Copyright terms: Public domain W3C validator