Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi2 29070
 Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0 0 = (0g𝑊)
isarchi2.x · = (.g𝑊)
isarchi2.l = (le‘𝑊)
isarchi2.t < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchi2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 isarchi2.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
3 eqid 2610 . . . 4 (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
41, 2, 3isarchi 29067 . . 3 (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
54adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6 simpl1l 1105 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7 simpl1r 1106 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1058 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐵)
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10 · = (.g𝑊)
121, 11mulgnn0cl 17381 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
137, 9, 10, 12syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simpl3 1059 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦𝐵)
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝑊)
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10 < = (lt‘𝑊)
171, 15, 16tltnle 28993 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)))
1817con2bid 343 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
196, 13, 14, 18syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2019rexbidva 3031 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2120imbi2d 329 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
221, 2, 11, 16isinftm 29066 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
2322notbid 307 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
24 rexnal 2978 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
2524imbi2i 325 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26 imnan 437 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2725, 26bitr2i 264 . . . . . . 7 (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2823, 27syl6bb 275 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29283adant1r 1311 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
3021, 29bitr4d 270 . . . 4 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31303expb 1258 . . 3 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32312ralbidva 2971 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
335, 32bitr4d 270 1 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  lecple 15775  0gc0g 15923  ltcplt 16764  Tosetctos 16856  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363  ⋘cinftm 29061  Archicarchi 29062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-inftm 29063  df-archi 29064 This theorem is referenced by:  submarchi  29071  isarchi3  29072  archirng  29073
 Copyright terms: Public domain W3C validator