Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Unicode version

Theorem isarchi2 27553
Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi2.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
isarchi2.l  |-  .<_  =  ( le `  W )
isarchi2.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y, n)    .x. ( x, y, n)    .<_ ( x, y, n)    .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 isarchi2.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  (<<< `  W
)  =  (<<< `  W
)
41, 2, 3isarchi 27550 . . 3  |-  ( W  e. Toset  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
6 simpl1l 1047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. Toset
)
7 simpl1r 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. 
Mnd )
8 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
98nnnn0d 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
10 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  W )
121, 11mulgnn0cl 16030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  n  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
137, 9, 10, 12syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
.x.  x )  e.  B )
14 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  W )
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10  |-  .<  =  ( lt `  W )
171, 15, 16tltnle 27474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( n  .x.  x
)  .<  y  <->  -.  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) )
1817con2bid 329 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  -.  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
196, 13, 14, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( y 
.<_  ( n  .x.  x
)  <->  -.  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
2019rexbidva 2975 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  -.  ( n 
.x.  x )  .< 
y ) )
2120imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
221, 2, 11, 16isinftm 27549 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
2322notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
24 rexnal 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
)
2524imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
26 imnan 422 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
2725, 26bitr2i 250 . . . . . . 7  |-  ( -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) )
2823, 27syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
29283adant1r 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
3021, 29bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
31303expb 1197 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n 
.x.  x ) )  <->  -.  x (<<< `  W ) y ) )
32312ralbidva 2909 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
335, 32bitr4d 256 1  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   lecple 14579   0gc0g 14712   ltcplt 15445  Tosetctos 15537   Mndcmnd 15793  .gcmg 15928  <<<cinftm 27544  Archicarchi 27545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mulg 15932  df-inftm 27546  df-archi 27547
This theorem is referenced by:  submarchi  27554  isarchi3  27555  archirng  27556
  Copyright terms: Public domain W3C validator