Theorem isarchi2 27553

Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi2.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi2.x	|- .x. = (.g ` W )
isarchi2.l	|- .<_ = ( le ` W )
isarchi2.t	|- .< = ( lt ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	|- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, B   n, W, x, y

Allowed substitution hints:   .< ( x, y, n)   .x. ( x, y, n)   .<_ ( x, y, n)   .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		isarchi2.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
3		eqid 2467	. . . 4 |- (<<< ` W ) = (<<< ` W )
4	1, 2, 3	isarchi 27550	. . 3 |- ( W e. Toset -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
5	4	adantr 465	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
6		simpl1l 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Toset )
7		simpl1r 1048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Mnd )
8		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9	8	nnnn0d 10864	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
10		simpl2 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> x e. B )
11		isarchi2.x	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` W )
12	1, 11	mulgnn0cl 16030	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Mnd /\ n e. NN0 /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
13	7, 9, 10, 12	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( n .x. x ) e. B )
14		simpl3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> y e. B )
15		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` W )
16		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 |- .< = ( lt ` W )
17	1, 15, 16	tltnle 27474	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( n .x. x ) .< y <-> -. y .<_ ( n .x. x ) ) )
18	17	con2bid 329	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
20	19	rexbidva 2975	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) <-> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
21	20	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
22	1, 2, 11, 16	isinftm 27549	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
23	22	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
24		rexnal 2915	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y <-> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y )
25	24	imbi2i 312	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
26		imnan 422	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
27	25, 26	bitr2i 250	. . . . . . 7 |- ( -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
28	23, 27	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
29	28	3adant1r 1221	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
30	21, 29	bitr4d 256	. . . 4 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
31	30	3expb 1197	. . 3 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
32	31	2ralbidva 2909	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
33	5, 32	bitr4d 256	1 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   lecple 14579   0gc0g 14712   ltcplt 15445  Tosetctos 15537   Mndcmnd 15793  ._gcmg 15928  <<<cinftm 27544  Archicarchi 27545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mulg 15932  df-inftm 27546  df-archi 27547

This theorem is referenced by:  submarchi  27554  isarchi3  27555  archirng  27556