Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isarchi2 28502
Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi2.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
isarchi2.l  |-  .<_  =  ( le `  W )
isarchi2.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y, n)    .x. ( x, y, n)    .<_ ( x, y, n)    .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 isarchi2.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  (<<< `  W
)  =  (<<< `  W
)
41, 2, 3isarchi 28499 . . 3  |-  ( W  e. Toset  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
54adantr 467 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
6 simpl1l 1059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. Toset
)
7 simpl1r 1060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. 
Mnd )
8 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
98nnnn0d 10925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
10 simpl2 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  W )
121, 11mulgnn0cl 16774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  n  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
137, 9, 10, 12syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
.x.  x )  e.  B )
14 simpl3 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  W )
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10  |-  .<  =  ( lt `  W )
171, 15, 16tltnle 28423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( n  .x.  x
)  .<  y  <->  -.  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) )
1817con2bid 331 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  -.  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
196, 13, 14, 18syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( y 
.<_  ( n  .x.  x
)  <->  -.  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
2019rexbidva 2898 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  -.  ( n 
.x.  x )  .< 
y ) )
2120imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
221, 2, 11, 16isinftm 28498 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
2322notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
24 rexnal 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
)
2524imbi2i 314 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
26 imnan 424 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
2725, 26bitr2i 254 . . . . . . 7  |-  ( -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) )
2823, 27syl6bb 265 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
29283adant1r 1261 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
3021, 29bitr4d 260 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
31303expb 1209 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n 
.x.  x ) )  <->  -.  x (<<< `  W ) y ) )
32312ralbidva 2830 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
335, 32bitr4d 260 1  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15121   lecple 15197   0gc0g 15338   ltcplt 16186  Tosetctos 16279   Mndcmnd 16535  .gcmg 16672  <<<cinftm 28493  Archicarchi 28494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-toset 16280  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mulg 16676  df-inftm 28495  df-archi 28496
This theorem is referenced by:  submarchi  28503  isarchi3  28504  archirng  28505
  Copyright terms: Public domain W3C validator