Theorem isarchi2 28502

Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi2.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi2.x	|- .x. = (.g ` W )
isarchi2.l	|- .<_ = ( le ` W )
isarchi2.t	|- .< = ( lt ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	|- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, B   n, W, x, y

Allowed substitution hints:   .< ( x, y, n)   .x. ( x, y, n)   .<_ ( x, y, n)   .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		isarchi2.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
3		eqid 2451	. . . 4 |- (<<< ` W ) = (<<< ` W )
4	1, 2, 3	isarchi 28499	. . 3 |- ( W e. Toset -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
5	4	adantr 467	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
6		simpl1l 1059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Toset )
7		simpl1r 1060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Mnd )
8		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9	8	nnnn0d 10925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
10		simpl2 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> x e. B )
11		isarchi2.x	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` W )
12	1, 11	mulgnn0cl 16774	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Mnd /\ n e. NN0 /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
13	7, 9, 10, 12	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( n .x. x ) e. B )
14		simpl3 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> y e. B )
15		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` W )
16		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 |- .< = ( lt ` W )
17	1, 15, 16	tltnle 28423	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( n .x. x ) .< y <-> -. y .<_ ( n .x. x ) ) )
18	17	con2bid 331	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
20	19	rexbidva 2898	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) <-> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
21	20	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
22	1, 2, 11, 16	isinftm 28498	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
23	22	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
24		rexnal 2836	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y <-> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y )
25	24	imbi2i 314	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
26		imnan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
27	25, 26	bitr2i 254	. . . . . . 7 |- ( -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
28	23, 27	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
29	28	3adant1r 1261	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
30	21, 29	bitr4d 260	. . . 4 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
31	30	3expb 1209	. . 3 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
32	31	2ralbidva 2830	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
33	5, 32	bitr4d 260	1 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15121   lecple 15197   0gc0g 15338   ltcplt 16186  Tosetctos 16279   Mndcmnd 16535  ._gcmg 16672  <<<cinftm 28493  Archicarchi 28494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-toset 16280  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mulg 16676  df-inftm 28495  df-archi 28496

This theorem is referenced by:  submarchi  28503  isarchi3  28504  archirng  28505