Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Unicode version

Theorem isarchi2 28337
Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi2.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
isarchi2.l  |-  .<_  =  ( le `  W )
isarchi2.t  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y, n)    .x. ( x, y, n)    .<_ ( x, y, n)    .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 isarchi2.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 eqid 2420 . . . 4  |-  (<<< `  W
)  =  (<<< `  W
)
41, 2, 3isarchi 28334 . . 3  |-  ( W  e. Toset  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
54adantr 466 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x (<<< `  W ) y ) )
6 simpl1l 1056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. Toset
)
7 simpl1r 1057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. 
Mnd )
8 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
98nnnn0d 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
10 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  W )
121, 11mulgnn0cl 16718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  n  e.  NN0  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
137, 9, 10, 12syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
.x.  x )  e.  B )
14 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  W )
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10  |-  .<  =  ( lt `  W )
171, 15, 16tltnle 28258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( n  .x.  x
)  .<  y  <->  -.  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) )
1817con2bid 330 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  (
n  .x.  x )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  -.  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
196, 13, 14, 18syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( y 
.<_  ( n  .x.  x
)  <->  -.  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
2019rexbidva 2934 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x )  <->  E. n  e.  NN  -.  ( n 
.x.  x )  .< 
y ) )
2120imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
221, 2, 11, 16isinftm 28333 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
2322notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y ) ) )
24 rexnal 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
)
2524imbi2i 313 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  -.  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x )  .<  y
) )
26 imnan 423 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  .<  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  (
n  .x.  x )  .<  y ) )
2725, 26bitr2i 253 . . . . . . 7  |-  ( -.  (  .0.  .<  x  /\  A. n  e.  NN  ( n  .x.  x ) 
.<  y )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) )
2823, 27syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Toset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
29283adant1r 1257 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( -.  x (<<< `  W ) y  <-> 
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  -.  ( n  .x.  x
)  .<  y ) ) )
3021, 29bitr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
(  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x ) )  <->  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
31303expb 1206 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n 
.x.  x ) )  <->  -.  x (<<< `  W ) y ) )
32312ralbidva 2865 . 2  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x
(<<< `  W ) y ) )
335, 32bitr4d 259 1  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<_  ( n  .x.  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   NNcn 10598   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   lecple 15149   0gc0g 15290   ltcplt 16130  Tosetctos 16223   Mndcmnd 16479  .gcmg 16616  <<<cinftm 28328  Archicarchi 28329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-seq 12200  df-0g 15292  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-toset 16224  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mulg 16620  df-inftm 28330  df-archi 28331
This theorem is referenced by:  submarchi  28338  isarchi3  28339  archirng  28340
  Copyright terms: Public domain W3C validator