Theorem isarchi2 28337

Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi2.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi2.x	|- .x. = (.g ` W )
isarchi2.l	|- .<_ = ( le ` W )
isarchi2.t	|- .< = ( lt ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	|- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, B   n, W, x, y

Allowed substitution hints:   .< ( x, y, n)   .x. ( x, y, n)   .<_ ( x, y, n)   .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		isarchi2.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
3		eqid 2420	. . . 4 |- (<<< ` W ) = (<<< ` W )
4	1, 2, 3	isarchi 28334	. . 3 |- ( W e. Toset -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
5	4	adantr 466	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
6		simpl1l 1056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Toset )
7		simpl1r 1057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Mnd )
8		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9	8	nnnn0d 10914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
10		simpl2 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> x e. B )
11		isarchi2.x	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` W )
12	1, 11	mulgnn0cl 16718	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Mnd /\ n e. NN0 /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
13	7, 9, 10, 12	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( n .x. x ) e. B )
14		simpl3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> y e. B )
15		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` W )
16		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 |- .< = ( lt ` W )
17	1, 15, 16	tltnle 28258	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( n .x. x ) .< y <-> -. y .<_ ( n .x. x ) ) )
18	17	con2bid 330	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
20	19	rexbidva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) <-> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
21	20	imbi2d 317	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
22	1, 2, 11, 16	isinftm 28333	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
23	22	notbid 295	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
24		rexnal 2871	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y <-> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y )
25	24	imbi2i 313	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
26		imnan 423	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
27	25, 26	bitr2i 253	. . . . . . 7 |- ( -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
28	23, 27	syl6bb 264	. . . . . 6 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
29	28	3adant1r 1257	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
30	21, 29	bitr4d 259	. . . 4 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
31	30	3expb 1206	. . 3 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
32	31	2ralbidva 2865	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
33	5, 32	bitr4d 259	1 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   NNcn 10598   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   lecple 15149   0gc0g 15290   ltcplt 16130  Tosetctos 16223   Mndcmnd 16479  ._gcmg 16616  <<<cinftm 28328  Archicarchi 28329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-seq 12200  df-0g 15292  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-toset 16224  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mulg 16620  df-inftm 28330  df-archi 28331

This theorem is referenced by:  submarchi  28338  isarchi3  28339  archirng  28340